《2025年云南省标准教辅优佳学案七年级数学上册人教版》

13. 将数$-\dfrac{1}{2},-7,+2.6,-30,-2\dfrac{3}{4},9.2,0,8$填入它们属于的集合圈内,则填入两集合圈公共部分区域M和N的数之和为(B).

A. $-37$ B. $-29$ C. 8 D. $3.6$

答案： 【解析】：本题考查有理数的概念，负数是比$0$小的数，整数包括正整数、$0$、负整数，正数是大于$0$的数。
负数集合与整数集合的公共部分$M$：在这组数中，既是负数又是整数的数只有$-7$和$-30$。
整数集合与正数集合的公共部分$N$：既是整数又是正数的数只有$8$。
那么$M$和$N$中的数之和为$( - 7)+( - 30)+8$
$= - 37 + 8$
$= - 29$
【答案】：B

14. 在有理数$5,-2,-0.3,0.57,\dfrac{1}{4},-\dfrac{1}{5},-1\dfrac{1}{6},102,-17$中,属于非负整数的有2个.

答案： 【解析】：
首先，需要明确非负整数的定义，即大于等于0的整数。然后，在给定的有理数列表中逐一检查每个数是否符合非负整数的定义。
给定的有理数列表为：$5, -2, -0.3, 0.57, \dfrac{1}{4}, -\dfrac{1}{5}, -1\dfrac{1}{6}, 102, -17$，
逐一判断这些数是否为非负整数：
$5$ 是非负整数，
$-2$ 不是非负整数，
$-0.3$ 不是非负整数，
$0.57$ 不是非负整数，
$\dfrac{1}{4}$ 不是非负整数，
$-\dfrac{1}{5}$ 不是非负整数，
$-1\dfrac{1}{6}$ 不是非负整数，
$102$ 是非负整数，
$-17$ 不是非负整数，
所以，属于非负整数的有 $5$ 和 $102$，共 $2$ 个，另外$0$也是非负整数，题目给出的数列中没有$0$，但我们需要考虑其存在性，而在此题中，我们只需根据给定的数列作答。
【答案】：
$2$

15. 在有理数中,最大的负整数是-1,最小的正整数是1.

答案： 【解析】：
本题考查有理数的概念，特别是对负整数和正整数的理解。在有理数中，负整数是小于零的整数，而正整数是大于零的整数。我们需要找到的是最大的负整数和最小的正整数。
对于负整数，其绝对值越小，数值越大。例如，-1 的绝对值比 -2、-3 等都小，所以 -1 是最大的负整数。
对于正整数，数值越小，则数越小。例如，1 比 2、3 等都小，所以 1 是最小的正整数。
【答案】：
-1；1

16. 把下列各数填入它们属于的集合内：
$1,-0.1,-789,25,0,-20,-3.14,\dfrac{6}{7}$.
正整数集合：$\{$1,25…$\}$；
负整数集合：$\{$-789,-20…$\}$；
正有理数集合：$\{$1,25,$\dfrac{6}{7}$…$\}$；
负有理数集合：$\{$-0.1,-789,-20,-3.14…$\}$.

答案： 【解析】：
本题考查有理数的分类及正负数的识别。
首先，需要明确有理数的分类标准：
正整数：大于0的整数；
负整数：小于0的整数；
正有理数：大于0的有理数（包括正整数和正分数）；
负有理数：小于0的有理数（包括负整数和负分数）。
接下来，逐一判断给出的数属于哪个集合：
$1$：是正整数，也是正有理数；
$-0.1$：是负有理数；
$-789$：是负整数，也是负有理数；
$25$：是正整数，也是正有理数；
$0$：不是正数也不是负数，不属于以上任何集合；
$-20$：是负整数，也是负有理数；
$-3.14$：是负有理数；
$\frac{6}{7}$：是正有理数。
根据以上分析，可以将这些数填入对应的集合中。
【答案】：
正整数集合：$\{ 1,25\}$；
负整数集合：$\{ -789,-20\}$；
正有理数集合：$\{ 1,25,\frac{6}{7}\}$；
负有理数集合：$\{ -0.1,-789,-20,-3.14\}$。

17.(分类讨论思想)设三个互不相等的有理数,既可分别表示为$1,a+b,a$的形式,又可分别表示为$4,\dfrac{a}{b},b$的形式,试求$ab$的值.

答案： 解：因为三个互不相等的有理数既可表示为$1,a+b,a$的形式，又可表示为$4,\dfrac{a}{b},b$的形式，所以这两组数分别对应相等。
情况一：若$a=4$，则第一组数为$1,4+b,4$。因为$\dfrac{a}{b}=\dfrac{4}{b}$，所以第二组数为$4,\dfrac{4}{b},b$。
由于两组数相等，所以$1$必等于$\dfrac{4}{b}$或$b$。
若$1 = b$，则第二组数为$4,4,1$，有重复数字，不符合互不相等，舍去。
若$1=\dfrac{4}{b}$，则$b = 4$，此时$a = b = 4$，第一组数为$1,8,4$，第二组数为$4,1,4$，有重复数字，不符合，舍去。
情况二：若$a+b=4$，则第一组数为$1,4,a$。
因为$a$和$b$为有理数且$\dfrac{a}{b}$有意义，所以$b\neq0$。
此时第二组数为$4,\dfrac{a}{b},b$，所以$1$必等于$\dfrac{a}{b}$或$b$。
若$b = 1$，则由$a + b=4$得$a=3$，第一组数为$1,4,3$，第二组数为$4,3,1$，三组数均为$1,3,4$，互不相等，符合题意。
若$\dfrac{a}{b}=1$，则$a = b$，由$a + b=4$得$a = b=2$，此时第一组数为$1,4,2$，第二组数为$4,1,2$，但$a = b=2$，与三个数互不相等矛盾，舍去。
综上，$a=3$，$b=1$，所以$ab=3×1=3$。
答案：$3$

18.(推理能力)黑板上有10个互不相等的有理数,小明说：“其中有6个整数.”小红说：“其中有6个正数.”小华说：“其中正小数与负小数的个数相等.”小林说：“负数不超过3个.”请你根据四位同学的描述,判断这10个有理数中负整数的个数.

答案： 解：因为有$10$个互不相等的有理数，其中有$6$个整数，所以有$10 - 6 = 4$个分数。
因为正小数与负小数的个数相等，所以正小数、负小数各有$4÷2 = 2$个。
因为有$6$个正数，正数包括正整数和正小数，正小数有$2$个，所以正整数有$6 - 2 = 4$个。
因为负数不超过$3$个，负小数有$2$个，所以负整数最多有$3 - 2 = 1$个。
又因为有$6$个整数，正整数有$4$个，所以负整数有$6 - 4 - 1 = 1$个（这里$1$是$0$，$0$既不是正数也不是负数）。
综上，这$10$个有理数中负整数的个数是$1$个。