《2025年云南省标准教辅优佳学案七年级数学上册人教版》

5. 将方程$x - 2y = 6$变形为用含x的代数式表示y的形式: $y = \underline{\quad\quad}$.
$\frac{x - 6}{2}$

答案： 解：方程两边同时加2y，得$x = 6 + 2y$；
方程两边同时减6，得$x - 6 = 2y$；
方程两边同时除以2，得$y = \frac{x - 6}{2}$。
$\frac{x - 6}{2}$

6. (易错题)下列是等式$\frac{2x + 1}{3} - 1 = x$的变形, 其中根据等式的性质 2 变形的是(D).
A.$\frac{2x + 1}{3} = x + 1$
B.$\frac{2x + 1}{3} - x = 1$
C.$\frac{2x}{3} + \frac{1}{3} - 1 = x$
D.$2x + 1 - 3 = 3x$

答案： 【解析】：
本题考察的是等式的性质，特别是等式的性质2，即等式两边同时乘以（或除以）同一个非零数，等式仍然成立。
原等式为：
$\frac{2x + 1}{3} - 1 = x$，
为了根据等式的性质2进行变形，我们需要消去分数。观察选项，我们可以看到选项D是将原等式两边同时乘以3（即分母），从而消去了分数。
对原等式两边同时乘以3，得到：
$2x + 1 - 3 = 3x$，
这与选项D一致。
【答案】：
D

7. 已知等式$3a = 2b + 5$, 则下列等式中不一定成立的是(C).
A.$3a - 5 = 2b$
B.$3a + 1 = 2b + 6$
C.$3ac = 2bc + 5$
D.$a = \frac{2}{3}b + \frac{5}{3}$

答案： 解：
A. 等式两边同时减5，得$3a - 5 = 2b$，成立；
B. 等式两边同时加1，得$3a + 1 = 2b + 6$，成立；
C. 等式两边同时乘$c$，应得$3ac = 2bc + 5c$，原等式不一定成立；
D. 等式两边同时除以3，得$a = \frac{2}{3}b + \frac{5}{3}$，成立。
答案：C

8. 对于任意有理数$a$, $b$, $c$, $d$, 我们规定$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad - bc$, 如$\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix} = 1 × 4 - 2 × 3$. 若$\begin{vmatrix}x&-2\\3&-4\end{vmatrix} = -2$, 则$x$的值为______2.

答案： 解：根据题意，得
$x×(-4)-(-2)×3=-2$
即$-4x + 6 = -2$
等式两边减6，得$-4x = -8$
等式两边除以$-4$，得$x = 2$
2

9. 如图, 有三架平衡的天平, 请问第三架天平中“?”处应放5个$\Delta$.

答案： 解：设一个●的质量为x，一个△的质量为y，一个■的质量为z。
由第一架天平得：x + y = z ①
由第二架天平得：2x = y + z ②
把①代入②得：2x = y + x + y，化简得x = 2y。
把x = 2y代入①得：2y + y = z，即z = 3y。
第三架天平左边为x + z = 2y + 3y = 5y，故“?”处应放5个△。
5

10. 用等式的性质解下列方程:
(1)$1 = 4x - 11$;
(2)$\frac{1}{4}x - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

答案： 【解析】：
本题考查的是等式的性质以及一元一次方程的解法。
对于一元一次方程，可以通过等式的性质（加法同解、乘法同解等）进行方程的变形，从而求解未知数。
(1) 对于方程 $1 = 4x - 11$，可以通过等式两边同时加11，得到 $4x = 12$，再两边同时除以4，得到 $x = 3$。
(2) 对于方程 $\frac{1}{4}x - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$，可以通过等式两边同时加$\frac{1}{3}$，得到 $\frac{1}{4}x = 1$，再两边同时乘以4，得到 $x = 4$。
【答案】：
(1) 解：
根据等式的性质，两边同时加11，得：
$1 + 11 = 4x - 11 + 11$，
即 $4x = 12$，
两边同时除以4，得：
$x = 3$；
(2) 解：
根据等式的性质，两边同时加$\frac{1}{3}$，得：
$\frac{1}{4}x - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3}$，
即 $\frac{1}{4}x = 1$，
两边同时乘以4，得：
$x = 4$。

11. 王老师在黑板上写了一个等式$(m - 3)x = 5(m - 3)$, 小明说$x = 5$; 小刚说不一定, 当$x \neq 5$时, 这个等式也可能成立. 你认为他俩的说法正确吗? 用等式的性质说明理由.

答案： 解：小明的说法不正确，小刚的说法正确。理由如下：
当$m - 3 \neq 0$，即$m \neq 3$时，根据等式的性质2，等式两边同时除以$m - 3$，得$x = 5$；
当$m - 3 = 0$，即$m = 3$时，原等式变为$0x = 0$，此时无论$x$取何值，等式都成立，所以$x \neq 5$时等式也可能成立。

12. (应用意识、运算能力)阅读下列材料:
问题: 怎样将$0.\dot{8}$表示成分数?
小明的探究过程如下:
设$x = 0.\dot{8}$①, $10x = 10 × 0.\dot{8}$②, $10x = 8.\dot{8}$③, $10x = 8 + 0.\dot{8}$④, $10x = 8 + x$⑤, $9x = 8$⑥, $x = \frac{8}{9}$⑦, 于是$0.\dot{8} = \frac{8}{9}$.
根据以上信息, 回答下列问题:
(1)从步骤①到步骤②, 变形的依据是等式的性质2; 从步骤⑤到步骤⑥, 变形的依据是等式的性质1;
(2)仿照上述探究过程, 请你将$0.\dot{6}$表示成分数的形式.
$0.\dot{6} = \frac{2}{3}$

答案： 【解析】：
本题主要考察等式的性质以及如何通过等式的性质将无限循环小数转化为分数形式。
(1) 从步骤①到步骤②，是将等式两边同时乘以10，这是基于等式的性质2，即等式两边同时乘以（或除以）同一个非零数，等式仍然成立。
从步骤⑤到步骤⑥，是将等式两边同时减去x，这是基于等式的性质1，即等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。
(2) 对于$0.\dot{6}$，我们可以仿照上述探究过程进行转化：
设$x = 0.\dot{6}$ ①，
为了消除无限循环部分，我们将等式两边同时乘以10，得到：
$10x = 6.\dot{6}$ ②，
接下来，我们将$6.\dot{6}$拆分为整数部分和小数部分，即：
$10x = 6 + 0.\dot{6}$ ③，
由于$0.\dot{6}$就是我们最初设定的x，所以可以将③式进一步写为：
$10x = 6 + x$ ④，
将等式两边的x项移到同一边，得到：
$9x = 6$ ⑤，
最后，将等式两边同时除以9，得到：
$x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ ⑥，
所以，$0.\dot{6} = \frac{2}{3}$。
【答案】：
(1) 等式的性质2；等式的性质1
(2) $0.\dot{6} = \frac{2}{3}$