《2025年云南省标准教辅优佳学案七年级数学上册人教版》

4. 速度一定,路程和时间成正比例.

答案： 【解析】：
本题主要考察正比例关系的定义。在数学中，如果两个量的比值始终保持不变，则这两个量被称为成正比例。在本题中，速度是恒定的，因此路程（s）和时间（t）之间的关系可以表示为 $s = vt$，其中 $v$ 是速度。由于速度 $v$ 是恒定的，因此路程 $s$ 和时间 $t$ 的比值是恒定的，即 $\frac{s}{t} = v$。所以，路程和时间成正比例。
【答案】：
正

5. 一辆汽车行驶时每100 km的平均耗油量不变,其行驶的路程与耗油量的关系如下表：
| 路程/km | 50 | 100 | 150 | 200 | 250 | 300 |
| 耗油量/L | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 |

(1)这辆汽车行驶的路程与耗油量之间成正比例关系.
(2)如果汽车行驶500 km,那么耗油40L.

答案： 【解析】：
(1) 首先，我们观察表格中的数据，特别是路程和耗油量的比值。
对于每一组数据，我们计算路程与耗油量的比值：
$\frac{50}{4} = 12.5, \quad \frac{100}{8} = 12.5, \quad \frac{150}{12} = 12.5, \quad \frac{200}{16} = 12.5, \quad \frac{250}{20} = 12.5, \quad \frac{300}{24} = 12.5$，
由于所有比值都相等，我们可以得出结论：这辆汽车行驶的路程与耗油量之间成正比例关系。
(2) 接下来，我们利用已知的比例关系来计算汽车行驶500km时的耗油量。
设汽车行驶500km时耗油量为$x$L，根据正比例关系，我们有：
$\frac{50}{4} = \frac{500}{x}$，
解这个方程，我们得到：
$x = 40$，
因此，如果汽车行驶500km，那么耗油40L。
【答案】：
(1) 正
(2) 40

6. 下列各选项中的两个量,成反比例关系的是(C).
A.汽车的速度一定,行驶的时间和路程
B.购买商品的数量一定,商品的单价和总价
C.三角形的面积一定,它的底和高
D.圆的周长一定,它的直径和圆周率

答案： 解：A. 速度一定时，路程=速度×时间，路程与时间成正比例，不成反比例。
B. 数量一定时，总价=单价×数量，总价与单价成正比例，不成反比例。
C. 三角形面积一定时，面积=底×高÷2，即底×高=2×面积（一定），底和高成反比例。
D. 圆周率是常数，圆周长一定时，直径=周长÷圆周率（一定），直径为定值，不成比例。
答案：C

7. 有s,v,t三个相关联的量,并有$vt= s$.
(1)当s一定时,v与t成反比例关系；
(2)当v一定时,s与t成正比例关系；
(3)当t一定时,s与v成正比例关系.

答案： 【解析】：
本题主要考察比例关系，即正比例和反比例的概念。
(1) 当s一定时，需要判断v与t的关系。由$vt=s$，我们可以得出$v = \frac{s}{t}$。这是一个反比例函数的形式，因此v与t成反比例关系。
(2) 当v一定时，需要判断s与t的关系。由$vt=s$，当v为常数时，s与t成正比，即s增大时t也增大，s减小时t也减小，因此s与t成正比例关系。
(3) 当t一定时，需要判断s与v的关系。同样由$vt=s$，当t为常数时，s与v成正比，即v增大时s也增大，v减小时s也减小，因此s与v成正比例关系。
【答案】：
(1) 反
(2) 正
(3) 正

8. 判断下列各题中的两个变量是否成反比例关系,如果是,请写出关系式.
(1)正三角形的面积S与边长a；
(2)当圆锥的体积是50时,它的高h与底面积S；
(3)当矩形的面积为90时,它的一边长y与另一边长x.

答案： 【解析】：
本题主要考察反比例关系的判断及关系式的建立。
反比例关系的定义：如果两个变量的乘积是一个常数（不为0），则这两个变量成反比例关系。
(1) 对于正三角形，其面积公式为$S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$。
这里，S与a的平方成正比，而不是与a成反比。
所以，正三角形的面积S与边长a不成反比例关系。
(2) 对于圆锥，其体积公式为$V = \frac{1}{3}Sh$。
当体积V一定时（本题中为50），有$\frac{1}{3}Sh = 50$。
从中我们可以得到$Sh = 150$，即S与h的乘积为常数。
所以，圆锥的高h与底面积S成反比例关系，关系式为$Sh = 150$。
(3) 对于矩形，其面积公式为$S = xy$。
当面积S一定时（本题中为90），有$xy = 90$。
这意味着x与y的乘积为常数。
所以，矩形的一边长y与另一边长x成反比例关系，关系式为$xy = 90$。
【答案】：
(1) 正三角形的面积S与边长a不成反比例关系。
(2) 圆锥的高h与底面积S成反比例关系，关系式为$Sh = 150$。
(3) 矩形的一边长y与另一边长x成反比例关系，关系式为$xy = 90$。

9. 某种蜡烛燃烧的长度与燃烧时间成正比例关系. 若点燃6 min后,高度下降3.6 cm,则长22 cm的此种蜡烛点燃15 min后,剩余蜡烛的长度为(C).
A.11 cm
B.12 cm
C.13 cm
D.14 cm

答案： 解：设蜡烛燃烧的长度为$y$cm，燃烧时间为$t$min，比例系数为$k$。
因为蜡烛燃烧的长度与燃烧时间成正比例关系，所以$y = kt$。
已知点燃6 min后，高度下降3.6 cm，即$t = 6$时，$y = 3.6$，代入得$3.6 = 6k$，解得$k = 0.6$，所以$y = 0.6t$。
当$t = 15$时，$y = 0.6×15 = 9$cm。
剩余蜡烛的长度为$22 - 9 = 13$cm。
答案：C

10. 下列各选项中的两个量,成反比例关系的是(C).
A.正方形的边长和面积
B.速度一定,路程和时间
C.总价一定,单价和数量
D.同学的年龄一定,他的身高与体重

答案： 解：
A. 正方形面积=边长×边长，边长与面积不成反比例关系。
B. 速度一定时，路程=速度×时间，路程与时间成正比例关系。
C. 总价一定时，单价×数量=总价（一定），单价和数量成反比例关系。
D. 年龄一定时，身高与体重不成比例关系。
结论：C

11. 若y与$\frac{1}{x}$成正比例关系,z与x成正比例关系,则y与z成反比例关系.

答案： 解：设$y = k_1 \cdot \frac{1}{x}$（$k_1 \neq 0$，$k_1$为常数），$z = k_2 x$（$k_2 \neq 0$，$k_2$为常数）。
由$z = k_2 x$得$x = \frac{z}{k_2}$，代入$y = k_1 \cdot \frac{1}{x}$，
得$y = k_1 \cdot \frac{k_2}{z} = \frac{k_1 k_2}{z}$（$k_1 k_2 \neq 0$，$k_1 k_2$为常数）。
故$y$与$z$成反比例关系。
反比例