《2025年云南省标准教辅优佳学案七年级数学上册人教版》

1. 进位制及其相关概念
进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一就是十进制,逢二进一就是二进制.也就是说,“逢几进一”就是几进制,几进制的基数就是几,如$(1011)_2$是二进制数,它的基数是2；$(3745)_8$是八进制数,它的基数是8.
2. 计算机运算的方式
计算机内部使用二进制数,二进制是逢二进一,其各个数位上的数字只用0或1这两个数字,这正好与电路的断和通两种状态相对应,因此计算机在进行数(十进制)的运算时,先把接收到的数转换为二进制数进行运算,再把运算结果转换为十进制数,并输出结果.
3. 八卦符号的认识
如图所示的八卦符号可以用于记数,——称为阳爻,对应数字1；= =称为阴爻,对应数字0.可以用八卦符号表示二进制数.
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请探究上述符号所表示的数,互相交流各自的计算方法.
提示:每卦均由三个阳爻或阴爻组合而成,如从左起第一个符号表示的二进制数为$(011)_2$.

答案： 十进制；二进制；几；2；8

【例1】把下列各数表示成各位上的数字与基数(10)的幂的乘积之和的形式：
(1)32567=$3 × 10^{4} + 2 × 10^{3} + 5 × 10^{2} + 6 × 10^{1} + 7 × 10^{0}$；
(2)0.7546=$7 × 10^{-1} + 5 × 10^{-2} + 4 × 10^{-3} + 6 × 10^{-4}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查了进位制的认识与探究，特别是将一个数表示为各位上的数字与基数（10）的幂的乘积之和的形式。
对于整数部分，从右至左（即从个位开始），每一个数字乘以10的相应次方（个位是$10^0$，十位是$10^1$，百位是$10^2$，以此类推），然后将这些乘积相加。
对于小数部分，从小数点后第一位开始，每一位数字乘以10的负相应次方（第一位是$10^{-1}$，第二位是$10^{-2}$，以此类推），然后将这些乘积相加。
(1) 对于32567：
$32567 = 3 × 10^{4} + 2 × 10^{3} + 5 × 10^{2} + 6 × 10^{1} + 7 × 10^{0}$
(2) 对于0.7546：
$0.7546 = 7 × 10^{-1} + 5 × 10^{-2} + 4 × 10^{-3} + 6 × 10^{-4}$
【答案】：
(1) $3 × 10^{4} + 2 × 10^{3} + 5 × 10^{2} + 6 × 10^{1} + 7 × 10^{0}$
(2) $7 × 10^{-1} + 5 × 10^{-2} + 4 × 10^{-3} + 6 × 10^{-4}$

【例2】把下列各数转换为二进制数(用除以2取余法)：
(1)17；
(2)31.
方法归纳
把十进制数转换为二进制数的方法
除以2取余法:将十进制数的整数部分除以2,余数作为二进制数的最低位,而商继续除以2,余数作为二进制数的次低位,这个步骤一直持续下去,直至商为0为止,即得到二进制数.

答案： 【解析】：
本题考查的是十进制数转换为二进制数的方法，具体是用除以2取余法。
对于给定的十进制数，我们将其除以2，并记录下每次的余数，直到商为0为止。
然后，我们将得到的余数从下到上排列，即可得到对应的二进制数。
(1) 对于数字17：
17 ÷ 2 = 8 余 1
8 ÷ 2 = 4 余 0
4 ÷ 2 = 2 余 0
2 ÷ 2 = 1 余 0
1 ÷ 2 = 0 余 1
所以，17的二进制表示为：$10001_{(2)}$。
(2) 对于数字31：
31 ÷ 2 = 15 余 1
15 ÷ 2 = 7 余 1
7 ÷ 2 = 3 余 1
3 ÷ 2 = 1 余 1
1 ÷ 2 = 0 余 1
所以，31的二进制表示为：$11111_{(2)}$。
【答案】：
(1) $10001_{(2)}$
(2) $11111_{(2)}$

【例3】将下列各数转换为八进制数(用除以8取余法)：
(1)17；(2)31；(3)253.

答案： 【解析】：
本题考查的是十进制数转换为八进制数的方法，具体是用除以8取余法。该方法的核心思想是：将十进制数除以8，记录余数，然后继续将商除以8，直到商为0，最后将所有的余数从后往前排列，即可得到对应的八进制数。
(1) 对于数字17：
17 ÷ 8 = 2 余 1
2 ÷ 8 = 0 余 2
所以，17的八进制表示为21。
(2) 对于数字31：
31 ÷ 8 = 3 余 7
3 ÷ 8 = 0 余 3
所以，31的八进制表示为37。
(3) 对于数字253：
253 ÷ 8 = 31 余 5
31 ÷ 8 = 3 余 7
3 ÷ 8 = 0 余 3
所以，253的八进制表示为375。
【答案】：
(1) 21
(2) 37
(3) 375