《2025年云南省标准教辅优佳学案七年级数学上册人教版》

【变式 3】利用等式的性质求下列方程的解:
(1)$-5x = 5 - 6x$; (2)$0 = 3x - 9$;
(3)$\frac{1}{3}x + \frac{1}{2} = \frac{2}{3}$.

答案：
(1)解：方程两边同时加上6x，得$-5x + 6x = 5 - 6x + 6x$，即$x = 5$。
(2)解：方程两边同时加上9，得$0 + 9 = 3x - 9 + 9$，即$9 = 3x$。两边同时除以3，得$3 = x$，即$x = 3$。
(3)解：方程两边同时减去$\frac{1}{2}$，得$\frac{1}{3}x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2}$，即$\frac{1}{3}x = \frac{1}{6}$。两边同时乘以3，得$x = \frac{1}{2}$。

1. 已知$a = b$, 则下列式子中不一定成立的是(C).
A.$a + 2 = b + 2$
B.$ac = bc$
C.$\frac{a}{2} = \frac{b}{3}$
D.$a - m = b - m$

答案： 解：根据等式的性质：
1. 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
2. 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
A. 等式两边同时加2，成立。
B. 等式两边同时乘c，成立。
C. 左边除以2，右边除以3，不符合等式性质，不一定成立。
D. 等式两边同时减m，成立。
答案：C

2. 方程$-x = 3的两边都除以-1$, 得(A).
A.$x = -3$
B.$x = 3$
C.$x = -\frac{1}{3}$
D.$x = \frac{1}{3}$

答案： 解：方程$-x = 3$的两边都除以$-1$，得$x = -3$。
A

3. 若代数式$2x^2 - 5x + 4$的值为 14, 则代数式$x^2 - \frac{5}{2}x + 4$的值为(C).
A.$-9$
B.$7$
C.$9$
D.$10$

答案： 解：由题意得，$2x^2 - 5x + 4 = 14$
$2x^2 - 5x = 10$
等式两边同时除以2，得$x^2 - \frac{5}{2}x = 5$
则$x^2 - \frac{5}{2}x + 4 = 5 + 4 = 9$
答案：C

4. 已知$5x^2 - 5x - 3 = 7$, 利用等式的基本性质, $x^2 - x$的值为______2.

答案： 解：5x² - 5x - 3 = 7
等式两边同时加3，得5x² - 5x = 10
等式两边同时除以5，得x² - x = 2
2

1. 下列等式的变形中, 错误的是(D).
A.由$a = b$, 得$a + 5 = b + 5$
B.由$a = b$, 得$\frac{a}{-3} = \frac{b}{-3}$
C.由$x + 2 = y + 2$, 得$x = y$
D.由$-3x = -3y$, 得$x = -y$

答案： 【解析】：
本题考察的是等式的基本性质。我们需要根据等式的性质来判断每个选项的正确性。
A. 由 $a = b$，根据等式性质1（等式两边加或减同一个数或式子，等式仍然成立），我们可以得到 $a + 5 = b + 5$，所以A选项是正确的。
B. 由 $a = b$，根据等式性质2（等式两边乘或除以同一个非零数，等式仍然成立），我们可以得到 $\frac{a}{-3} = \frac{b}{-3}$，所以B选项是正确的。
C. 由 $x + 2 = y + 2$，根据等式性质1，我们可以两边同时减去2，得到 $x = y$，所以C选项是正确的。
D. 由 $-3x = -3y$，根据等式性质2，我们应该两边同时除以-3，得到 $x = y$，而不是 $x = -y$，所以D选项是错误的。
综上所述，错误的选项是D。
【答案】：
D

2. 已知$x = y$, 则下列各式: ①$x - 3 = y - 3$; ②$3x = 3y$; ③$-2x = -2y$; ④$\frac{y}{x} = 1$. 其中正确的有(C).
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： 【解析】：
本题主要考察等式的性质。
根据等式的性质1：等式的两边加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等。
对于①$x - 3 = y - 3$，由于已知$x = y$，两边同时减去3，等式仍然成立，所以①是正确的。
根据等式的性质2：等式的两边乘（或除以）同一个不为零的数，结果仍相等。
对于②$3x = 3y$，由于已知$x = y$，两边同时乘以3，等式仍然成立，所以②是正确的。
对于③$-2x = -2y$，由于已知$x = y$，两边同时乘以-2，等式仍然成立，所以③是正确的。
对于④$\frac{y}{x} = 1$，这个式子在$x \neq 0$且$x = y$的条件下是正确的。但题目没有给出$x \neq 0$的条件，当$x = 0$时，分母为0，该式无意义。因此，不能确定④在所有情况下都是正确的。
综上，①、②、③三个式子都是正确的，而④在某些情况下可能不正确。
【答案】：
C. 3 个。

3. 在下列各题的横线上填上适当的整式, 使所得结果仍是等式, 并说明根据等式的哪一条性质以及是怎样变形的.
(1)如果$-\frac{x}{10} = \frac{y}{5}$, 那么$x = \underline{-2y}$, 根据等式的基本性质2, 等式两边都乘以-10;
(2)如果$-2x = 2y$, 那么$x = \underline{-y}$, 根据等式的基本性质2, 等式两边都除以-2;
(3)如果$\frac{2}{3}x = 4$, 那么$x = \underline{6}$, 根据等式的基本性质2, 等式两边都乘以$\frac{3}{2}$;
(4)如果$x = 3x + 2$, 那么$x - \underline{3x} = 2$, 根据等式的基本性质1, 等式两边都减去$3x$.

答案： 【解析】：
本题主要考查等式的基本性质，包括等式的两边同时乘以或除以同一个非零数，等式仍然成立；等式的两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。
(1) 对于 $-\frac{x}{10} = \frac{y}{5}$，为了消去分数，我们可以将等式两边同时乘以-10（即等式的两边同时乘以同一个非零数，等式仍然成立），得到 $x = -2y$。
(2) 对于 $-2x = 2y$，为了得到 $x$ 的表达式，我们可以将等式两边同时除以-2（即等式的两边同时除以同一个非零数，等式仍然成立），得到 $x = -y$。
(3) 对于 $\frac{2}{3}x = 4$，为了得到 $x$ 的值，我们可以将等式两边同时乘以$\frac{3}{2}$（即等式的两边同时乘以同一个非零数，等式仍然成立），得到 $x = 6$。
(4) 对于 $x = 3x + 2$，为了得到 $x$ 的简化表达式，我们可以将等式两边同时减去 $3x$（即等式的两边同时减去同一个数，等式仍然成立），得到 $x - 3x = 2$。
【答案】：
(1) $-2y$；等式的基本性质2；都乘以-10
(2) $-y$；等式的基本性质2；都除以-2
(3) $6$；等式的基本性质2；都乘以$\frac{3}{2}$
(4) $3x$；等式的基本性质1；都减去$3x$

4. 由$2x - 1 = 0得到x = \frac{1}{2}$, 可分两步, 按步骤完成下列填空. 第一步: 根据等式的性质1, 等式两边同时加1, 得到$2x = 1$. 第二步: 根据等式的性质2, 等式两边同时除以2, 得到$x = \underline{\quad\quad}$.

答案： 解：第一步：根据等式的性质1，等式两边同时加1，得到$2x = 1$.
第二步：根据等式的性质2，等式两边同时除以2，得到$x = \frac{1}{2}$.