《2025年云南省标准教辅优佳学案七年级数学上册人教版》

【例1】下面是某月的月历,观察月历,回答下列问题：

(1)月历中被框起来的9个数之和与该方框正中心的数有什么关系？
(2)这个关系对其他这样的方框成立吗？你能用代数式表示这个关系吗？
(3)这个关系对任何一个月的月历都成立吗？为什么？

答案：
(1)解：观察月历，框起来的9个数（如2,3,4,9,10,11,16,17,18）之和为2+3+4+9+10+11+16+17+18=90，正中心的数为10，90÷10=9，故9个数之和是正中心数的9倍。
(2)解：成立。设正中心数为x，则这9个数分别为x-8，x-7，x-6，x-1，x，x+1，x+6，x+7，x+8，它们的和为(x-8)+(x-7)+(x-6)+(x-1)+x+(x+1)+(x+6)+(x+7)+(x+8)=9x，即9个数之和为9x，是正中心数x的9倍。
(3)解：成立。因为月历中每行相邻数相差1，每列相邻数相差7，任意框出的9个数都可表示为以中心数x为基准的上述9个数，其和始终为9x，所以对任何一个月的月历都成立。

【例2】(1)要判断一个三位数能不能被3整除,只要看这个数的各位上的数字的和能不能被3整除,这是为什么？
(2)联系拓展：要判断一个四位数能不能被9整除,只要看这个数的各位上的数字之和能不能被9整除,这是为什么？

答案：
(1)解：设一个三位数为$abc$（$a$、$b$、$c$为整数，且$a\neq0$），则这个三位数可表示为$100a + 10b + c$。
$\begin{aligned}100a + 10b + c&=99a + a + 9b + b + c\\&=(99a + 9b) + (a + b + c)\\&=9(11a + b) + (a + b + c)\end{aligned}$
因为$9(11a + b)$能被3整除，所以若$(a + b + c)$能被3整除，则$100a + 10b + c$能被3整除。即一个三位数能不能被3整除，只要看各位上数字的和能不能被3整除。
(2)解：设一个四位数为$abcd$（$a$、$b$、$c$、$d$为整数，且$a\neq0$），则这个四位数可表示为$1000a + 100b + 10c + d$。
$\begin{aligned}1000a + 100b + 10c + d&=999a + a + 99b + b + 9c + c + d\\&=(999a + 99b + 9c) + (a + b + c + d)\\&=9(111a + 11b + c) + (a + b + c + d)\end{aligned}$
因为$9(111a + 11b + c)$能被9整除，所以若$(a + b + c + d)$能被9整除，则$1000a + 100b + 10c + d$能被9整除。即一个四位数能不能被9整除，只要看各位上数字的和能不能被9整除。

1. 在某月的月历上用矩形框出a,b,c,d四个数(如图),如果c= 10,那么a+b+d等于(B).

|a|b|
|c|d|
A.14
B.18
C.42
D.46

答案： 解：由月历中数字排列规律可知，同一列相邻两个数相差7，同一行相邻两个数相差1。
因为c在a的正下方，所以c = a + 7，已知c = 10，则a = 10 - 7 = 3。
b在a的右侧，所以b = a + 1 = 3 + 1 = 4。
d在c的右侧，所以d = c + 1 = 10 + 1 = 11。
因此，a + b + d = 3 + 4 + 11 = 18。
答案：B

2. 一个正两位数M,它的个位上的数字是a,十位上的数字比个位上的数字大3,把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到一个新两位数N,则M+N的值总能(C).
A.被3整除
B.被9整除
C.被11整除
D.被22整除

答案： 解：
∵ M是正两位数，个位数字为a，十位数字比个位数字大3，
∴ 十位数字为 $a + 3$，
∴ $M = 10(a + 3) + a = 11a + 30$。
交换十位与个位数字后，新两位数N的十位数字为a，个位数字为 $a + 3$，
∴ $N = 10a + (a + 3) = 11a + 3$。
∴ $M + N = (11a + 30) + (11a + 3) = 22a + 33 = 11(2a + 3)$。
∵ $11(2a + 3)$ 是11的倍数，
∴ M+N的值总能被11整除。
答案：C