《2025年云南省标准教辅优佳学案七年级数学上册人教版》

1. 填空,把下列各数转换为二进制数.
7：111；91：1011011.

答案： 【解析】：
本题考查的是十进制数转换为二进制数的方法。
对于十进制数转换为二进制数，通常使用除2取余法。
即将十进制数除以2，得到商和余数（0或1），再将商继续除以2，直到商为0，然后将各次余数从后往前排列，即可得到二进制数。
(1) 对于数字7：
7 ÷ 2 = 3 余 1
3 ÷ 2 = 1 余 1
1 ÷ 2 = 0 余 1
所以，7的二进制表示为：111。
(2) 对于数字91：
91 ÷ 2 = 45 余 1
45 ÷ 2 = 22 余 1
22 ÷ 2 = 11 余 0
11 ÷ 2 = 5 余 1
5 ÷ 2 = 2 余 1
2 ÷ 2 = 1 余 0
1 ÷ 2 = 0 余 1
所以，91的二进制表示为：1011011。
【答案】：
111；1011011

2. 填空,把下列各数转换为八进制数.
8：10；91：133.

答案： 【解析】：
本题主要考察的是进制转换，特别是十进制数转换为八进制数。
对于整数部分，我们采用除8取余法，即将十进制数除以8，记录余数，然后继续将商除以8，直到商为0，最后将所有的余数从后往前排列，即可得到八进制数。
1. 对于数字8：
8除以8等于1，余数为0。
因此，8的八进制表示为$10_{(8)}$。
2. 对于数字91：
91除以8等于11，余数为3。
11再除以8等于1，余数为3。
1再除以8等于0，余数为1。
因此，91的八进制表示为$133_{(8)}$。
【答案】：
8的八进制数为$10_{(8)}$；
91的八进制数为$133_{(8)}$。

3. (1)请你把二进制数10101转换为十进制数的过程补充完整：
$(10101)_2$
=$1×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0$
=21；
(2)现在,请你尝试把六进制数421转化为十进制数,并写出转换过程.
解：$(421)_6$
$=4×6^2 + 2×6^1 + 1×6^0$
$=4×36 + 2×6 + 1×1$
$=144 + 12 + 1$
$=157$
$=(157)_{10}$

答案：
(1) $1×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0$；21
(2) 解：$(421)_6$
$=4×6^2 + 2×6^1 + 1×6^0$
$=4×36 + 2×6 + 1×1$
$=144 + 12 + 1$
$=157$
$=(157)_{10}$

【例4】计算下列各题：
(1)$(10110)_2+(1101)_2$；
(2)$(1110)_2+(101011)_2$.

答案： 【解析】：
题目考查的是二进制数的加法运算。
二进制数的加法运算规则是：从右往左逐位相加，逢二进一。
(1) 对于 $(10110)_2+(1101)_2$：
首先，将两个二进制数对齐，从右往左逐位相加：
10110
+ 01101
--------
100011
所以，$(10110)_2+(1101)_2=(100011)_2$。
(2) 对于 $(1110)_2+(101011)_2$：
同样，将两个二进制数对齐，从右往左逐位相加，注意逢二进一：
001110
+ 101011
--------
111001
所以，$(1110)_2+(101011)_2=(111001)_2$。
【答案】：
(1) $(100011)_2$
(2) $(111001)_2$

二进制加法运算的法则
二进制加法的竖式运算的法则和十进制加法的一样,把右边第一位对齐,依次相应数位对齐,每个数位满二向上一位进一.

答案： 二进制加法运算的法则：
1. 相同数位对齐，从右往左依次相加。
2. 对应数位上的数相加：0+0=0；0+1=1；1+0=1；1+1=10（向高位进1）。
3. 若有进位，将进位的1与高一位的数相加，仍遵循上述法则。

4. 计算：
(1)31+26；
(2)把31,26分别转换为二进制数,利用二进制的加法运算法则计算它们的和,再把和转换为十进制数；
(3)比较(1)(2)的计算结果是否相同.

答案：
(1)解：31+26=57
(2)解：
将31转换为二进制数：
31÷2=15……1
15÷2=7……1
7÷2=3……1
3÷2=1……1
1÷2=0……1
从下往上取余数得：31
(10)=11111
(2)
将26转换为二进制数：
26÷2=13……0
13÷2=6……1
6÷2=3……0
3÷2=1……1
1÷2=0……1
从下往上取余数得：26
(10)=11010
(2)
二进制加法：11111+11010
11111
+ 11010
--------
111001
将二进制数111001转换为十进制数：
1×2⁵+1×2⁴+1×2³+0×2²+0×2¹+1×2⁰=32+16+8+0+0+1=57
(3)解：
(1)
(2)的计算结果相同。

【例5】(数学文化)第十四届国际数学教育大会(ICME-14)会徽的主题图案有着丰富的数学文化元素,展现了我国古代数学的文化魅力,如图(见下页),其右下方是用八卦符号来记数的,这个数是由四个二进制数组成的.根据如图所示的会徽,回答下列问题：
(1)写出用八卦符号表示的四个二进制数；
(2)把(1)中的二进制数分别转换为十进制数,得到的这个四位数是______,将这个四位数看作一个八进制数,将这个八进制数转换为十进制数；
(3)结合(2)中最后得到的十进制数,说说第十四届国际数学教育大会(ICME-14)会徽的主题图案蕴含的意义.
(1)1101₂，1111₂，0110₂，0101₂
(2)131565；45941
(3)最后得到的十进制数45941，其英文表述中“forty-one”与“ICME-14”中的14（英文“fourteen”）相呼应，体现了数学文化的传承与交流，寓意着第十四届国际数学教育大会在数学文化的传承和发展中具有重要意义，展示了古代数学与现代数学教育大会的联系。

答案： 1. **（1）写出二进制数**：
根据八卦符号记数规则（从下往上看，有线段表示$1$，无线段表示$0$），四个二进制数分别为$1101_{(2)}$，$1111_{(2)}$，$0110_{(2)}$，$0101_{(2)}$。
2. **（2）二进制转十进制，再八进制转十进制**：
二进制转十进制公式：$a_{n}2^{n}+a_{n - 1}2^{n - 1}+\cdots+a_{1}2^{1}+a_{0}2^{0}$（$a_{i}\in\{0,1\}$）。
对于$1101_{(2)}$：$1×2^{3}+1×2^{2}+0×2^{1}+1×2^{0}=8 + 4+0 + 1=13$。
对于$1111_{(2)}$：$1×2^{3}+1×2^{2}+1×2^{1}+1×2^{0}=8 + 4+2 + 1=15$。
对于$0110_{(2)}$：$0×2^{3}+1×2^{2}+1×2^{1}+0×2^{0}=0 + 4+2+0 = 6$。
对于$0101_{(2)}$：$0×2^{3}+1×2^{2}+0×2^{1}+1×2^{0}=0 + 4+0 + 1=5$。
得到四位数$131565$（这里是将四个十进制数按顺序组合），看作八进制数$131565_{(8)}$。
八进制转十进制公式：$a_{n}8^{n}+a_{n - 1}8^{n - 1}+\cdots+a_{1}8^{1}+a_{0}8^{0}$（$a_{i}\in\{0,1,\cdots,7\}$）。
$131565_{(8)}=1×8^{5}+3×8^{4}+1×8^{3}+5×8^{2}+6×8^{1}+5×8^{0}$
$=1×32768+3×4096+1×512+5×64+6×8+5×1$
$=32768+12288+512+320+48+5$
$=45941$。
3. **（3）意义**：
最后得到的十进制数$45941$，因为$45941$的英文单词“$forty - five thousand nine hundred and forty - one$”中，“$forty - one$”与“$ICME - 14$”中的$14$（英文“$fourteen$”）相呼应，体现了数学文化的传承与交流，寓意着第十四届国际数学教育大会在数学文化的传承和发展中具有重要意义，展示了古代数学与现代数学教育大会的联系。
综上，（2）中答案依次为$131565$；八进制数$131565_{(8)}$转换为十进制数为$45941$。