《2025年云南省标准教辅优佳学案七年级数学上册人教版》

3. 如图是某月的月历,任意选取“H”形框中的7个数(如阴影部分所示),请你运用所学的数学知识来研究,发现这7个数的和不可能是(A).
A.163
B.154
C.98
D.70

答案： 解：设“H”形框中间的数为$x$，则其余6个数分别为$x - 8$，$x - 6$，$x - 1$，$x + 1$，$x + 6$，$x + 8$。
这7个数的和为：$(x - 8) + (x - 6) + (x - 1) + x + (x + 1) + (x + 6) + (x + 8) = 7x$，即7个数的和是7的倍数。
A. $163÷7\approx23.29$，不是整数，不是7的倍数；
B. $154÷7 = 22$，是整数，是7的倍数；
C. $98÷7 = 14$，是整数，是7的倍数；
D. $70÷7 = 10$，是整数，是7的倍数。
答案：A

4. 把一个两位数的十位上的数字和个位上的数字交换,得到一个新的数,在正整数范围内,新的数与原两位数的和一定能被11整除(1除外).

答案： 【解析】：
本题主要考查整式的加减和整除的性质。
设原两位数的十位数字为$a$，个位数字为$b$，则原两位数可以表示为$10a + b$。
交换十位和个位数字后，新的两位数可以表示为$10b + a$。
求两个数的和：
$(10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b)$
由于$a$和$b$都是正整数，所以$a + b$也是正整数。
因此，新的数与原两位数的和一定能被11整除（1除外，因为题目已明确1除外）。
【答案】：
11

5. 若一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别为x,y和z,则这个三位数可记为$\overline{xyz}$,易得$\overline{xyz}= 100x + 10y + z$.
(1)如果要用数字3,7,9组成一个三位数(各数位上的数不同),那么组成的数中最大的三位数是973,最小的三位数是379.
(2)若一个三位数各数位上的数由a,b,c三个数字组成,且a ＞ b ＞ c ＞ 0,请说明所组成的最大三位数与最小三位数之差可以被99整除.
证明：∵a＞b＞c＞0，
∴最大三位数为$\overline{abc}=100a+10b+c$，
最小三位数为$\overline{cba}=100c+10b+a$，
它们的差为：$(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99a-99c=99(a-c)$，
∵a，c为整数，
∴$99(a-c)$能被99整除，即所组成的最大三位数与最小三位数之差可以被99整除。

答案：
(1) 973; 379
(2) 证明：
∵a＞b＞c＞0，
∴最大三位数为$\overline{abc}=100a+10b+c$，
最小三位数为$\overline{cba}=100c+10b+a$，
它们的差为：$(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99a-99c=99(a-c)$，
∵a，c为整数，
∴$99(a-c)$能被99整除，即所组成的最大三位数与最小三位数之差可以被99整除。

6. 如图是2024年2月份的月历,其中“n”形和“十”字形两个阴影图形分别覆盖其中五个数字,“n”形和“十”字形两个阴影图形可以重叠覆盖,也可以上下左右移动. 设“n”形覆盖的五个数字左上角的数为a,数字之和为$S_1$,“十”字形覆盖的五个数字中间的数字为b,数字之和为$S_2$.

(1)分别用含a,b的代数式表示$S_1和S_2$；
(2)结合月历,若$S_1 - S_2= 19$,则$S_1 + S_2$的最大值为多少？

答案： 【解析】：
(1) 对于“n”形阴影，其覆盖的数字可以通过左上角的数字a来表示。根据月历的布局，可以得到以下数字：
左上角的数为a，
其右边的数为$a+1$，
其下边的数为$a+7$，
该数的右边的数为$a+8$，
再下边的数为$a+14$，
所以，“n”形阴影覆盖的五个数字之和为：
$S_1 = a + (a + 1) + (a + 7) + (a + 8) + (a + 14) = 5a + 30$，
对于“十”字形阴影，其覆盖的数字可以通过中间的数字b来表示。根据月历的布局，可以得到以下数字：
中间的数为b，
其上边的数为$b-7$，
其下边的数为$b+7$，
其左边的数为$b-1$，
其右边的数为$b+1$，
所以，“十”字形阴影覆盖的五个数字之和为：
$S_2 = b + (b - 7) + (b + 7) + (b - 1) + (b + 1) = 5b$，
(2) 根据题意，有$S_1 - S_2 = 19$，
代入$S_1$和$S_2$的表达式，得到：
$5a + 30 - 5b = 19$，
化简得：
$a - b = -\frac{11}{5}$，
进一步整理，得到：
$b = a + \frac{11}{5}$，
考虑到月历中数字的范围和布局，需要找到满足条件的a和b的最大整数值。
由于2月份有29天，所以a的取值范围是$1\leq a \leq15$（保证“n”形阴影覆盖的数字都在月历中），
对应的b的取值范围是$ \frac{16}{5}\leq b \leq \frac{86}{5}$，由于b也为整数，且$b=a+\frac{11}{5}$为整数，所以$a$必须为1结尾的数，即$a=1,6,11,16$，当$a=11$时，b取得最大整数22（$b=11+\frac{11}{5}=13.2$，向上取整且保证$S_1,S_2$覆盖的数字都在月历范围内），
此时，计算$S_1 + S_2$：
$S_1 + S_2 = 5a + 30 + 5b = 5a + 30 + 5(a + \frac{11}{5}) = 10a + 41=10×11+41=151$，
所以，$S_1 + S_2$的最大值为151。
【答案】：
(1) $S_1 = 5a + 30$，$S_2 = 5b$；
(2) 151。