《2025年云南省标准教辅优佳学案七年级数学上册人教版》

1. 路程、速度、时间之间的关系
路程＝速度×时间；速度＝路程÷时间；时间＝路程÷速度.
2. 相遇问题列方程的关键
甲、乙相向而行的相遇问题中相等关系是甲的路程＋乙的路程＝行程和；$相遇时间=距离÷速度和$.
3. 追及问题列方程的关键
(1)同向而行：速度慢的在前,快的在后,$追及时间=追及距离÷速度差$；
(2)在环形跑道上,速度快的在前,慢的在后,$追及距离=速度差×时间$.

答案： 1. 速度×时间；路程÷时间；路程÷速度
2. 甲的路程＋乙的路程＝行程和；距离÷速度和
3.
(1)追及距离÷速度差
(2)速度差×时间

【例1】甲、乙两地相距270 km,从甲地开出一辆快车,速度为120 km/h,从乙地开出一辆慢车,速度为75 km/h. 如果两车相向而行,慢车先开出1 h后,快车开出,那么再经过多长时间两车相遇？

答案： 【解析】：
本题主要考查了行程问题中的相遇问题。
首先，我们需要理解题目中的信息，并将其转化为数学表达式。
设再经过$x$小时两车相遇。
慢车先开出1小时，所以慢车已经行驶了$75 × 1 = 75(km)$。
当两车相向而行时，它们的相对速度为两车速度之和，即$120 + 75 = 195(km/h)$。
在$x$小时内，快车行驶的距离为$120x$，慢车行驶的距离为$75x$（因为慢车已经先开了1小时，所以这里的$x$小时是两车同时行驶的时间）。
两车相遇时，它们行驶的总距离应等于甲乙两地的距离，即$270km$。
因此我们可以得到方程：$75 × 1 + 120x + 75x = 270$，
即：$195x = 195$。
接下来，我们解这个方程，得到$x = 1$。
【答案】：
解：设再经过$x$小时两车相遇，
由题意得，$75 × 1 + 120x + 75x = 270$，
即：$195x = 195$，
解得$x = 1$。
答：再经过$1$小时两车相遇。

【变式1】已知甲、乙两地相距160 km,A,B两车分别从甲、乙两地同时出发,A车速度为85 km/h,B车速度为65 km/h,A,B两车同时同向而行,A车在后,经过几小时A车追上B车？

答案： 【解析】：
本题主要考查了行程问题中的追及问题。
在这个问题中，A车从甲地出发，B车从乙地出发，它们同向行驶，A车试图追上B车。
首先，需要理解追及问题的基本概念，即当两车同向行驶时，快车要追上慢车，需要行驶的距离等于两地之间的初始距离加上慢车在快车追及过程中行驶的距离。
设经过$x$小时A车追上B车。
在这$x$小时内，A车行驶的距离是$85x$ km，B车行驶的距离是$65x$ km。
由于A车要追上B车，所以A车行驶的距离必须等于B车行驶的距离加上甲乙两地的初始距离，即：
$85x = 65x + 160$。
解这个方程，就可以得到A车追上B车所需的时间$x$。
【答案】：
解：设经过$x$小时A车追上B车。
根据题意，得$85x = 65x + 160$，
移项得：$20x = 160$，
解得：$x = 8$。
答：经过8小时A车追上B车。

【例2】绕湖环行一周是2700 m,甲、乙、丙三人从同一地点出发绕湖行走,甲和乙沿同一方向行走,丙沿反方向行走,甲的速度是135 m/min,乙的速度是90 m/min,丙的速度是45 m/min. 当甲与丙相遇后,马上转身反向行走,不久与乙相遇. 求出发后多长时间,甲与乙相遇.

答案： 解：设甲与丙经过$t_1$分钟相遇。
甲和丙的速度和为：$135 + 45 = 180$（m/min）
根据路程 = 速度×时间，可得：$180t_1 = 2700$
解得：$t_1 = 15$
此时甲行走的路程：$135×15 = 2025$（m）
乙行走的路程：$90×15 = 1350$（m）
甲与丙相遇后转身反向行走，此时甲与乙之间的距离为：$2025 - 1350 = 675$（m）
甲反向后与乙的速度和为：$135 + 90 = 225$（m/min）
设甲反向后经过$t_2$分钟与乙相遇，可得：$225t_2 = 675$
解得：$t_2 = 3$
总时间：$t_1 + t_2 = 15 + 3 = 18$（分钟）
答：出发后18分钟，甲与乙相遇。