《2025年云南省标准教辅优佳学案七年级数学上册人教版》

1. 用同样大小的正方形以一定规律按如图所示的方式拼图案,其中第①个图案中有9个正方形,第②个图案中有14个正方形,第③个图案中有19个正方形……按此规律排列下去,则第⑨个图案中正方形的个数是(B).
...
A. 45 B. 49 C. 50 D. 54

答案： 【解析】：
本题可先分析前几个图案中正方形个数的规律，得出其通项公式，再将$n = 9$代入通项公式求出第⑨个图案中正方形的个数。
步骤一：分析前几个图案中正方形个数的规律
第①个图案中有$9$个正方形，可写成$9 = 5×1 + 4$。
第②个图案中有$14$个正方形，可写成$14 = 5×2 + 4$。
第③个图案中有$19$个正方形，可写成$19 = 5×3 + 4$。
步骤二：总结规律并得出通项公式
通过以上分析，可以发现规律：第$n$个图案中正方形的个数为$5n + 4$。
步骤三：计算第⑨个图案中正方形的个数
将$n = 9$代入通项公式$5n + 4$，可得：
$5×9 + 4 = 45 + 4 = 49$
【答案】：B

2. 如图,将形状、大小完全相同的“.”和线段按照一定规律摆成下列图形,第①个图形中“.”的个数为3,第②个图形中“.”的个数为8,第③个图形中“.”的个数为15……以此类推,则第⑧个图形中“.”的个数为(B).
...
A.63
B.80
C.100
D.120

答案： 【解析】：
首先，观察题目给出的图形和对应的“.”的个数：
第①个图形中“.”的个数为：$3=2^2-1$，
第②个图形中“.”的个数为：$8=3^2-1$，
第③个图形中“.”的个数为：$15=4^2-1$，
可以观察到，第$n$个图形中“.”的个数可以表示为：$(n+1)^2-1$，
根据这个规律，可以计算出第⑧个图形中“.”的个数：
将$n=8$代入$(n+1)^2-1$，得到：
$(8+1)^2-1$
$=9^2-1$
$=81-1$
$=80$
所以，第⑧个图形中“.”的个数为80。
【答案】：B。

3. (2023 怀化期末)把一根起点为0的数轴弯折成如图所示的样子,虚线最下面第1个数字是0,往上第2个数字是6,第3个数字是21……则第23个数字是______.

2211

答案： 解：观察可得，第1个数字为0；第2个数字为6=0+6×1；第3个数字为21=6+6×2+3；
分析规律：第n个数字（n≥2）比第（n-1）个数字多6(n-1)。
验证：第2个数字：0 + 6×1 = 6；第3个数字：6 + 6×2 = 18（此处原解析中“+3”为干扰，实际应为单纯累加6(n-1)），修正后第3个数字应为6 + 6×2 = 18，与题目中21不符，重新分析。
重新观察图形，从0开始，第1“折”到6，经过数字1-5（共5个数字），0到6间隔6；第2“折”到21，经过数字7-20（共14个数字），6到21间隔15。
间隔规律：6=3×2，15=3×5，2、5差值为3，推测下一个间隔为3×8=24，验证第4个数字为21+24=45，符合数字排列间隔递增规律。
间隔数列为3×2，3×5，3×8，…，首项2，公差3，第（n-1）个间隔为3[2+3(n-2)]=3(3n-4)。
第n个数字为前（n-1）个间隔之和：
S = 3×2 + 3×5 +... + 3(3n-4) = 3[2+5+8+...+(3n-4)]
括号内为等差数列，首项2，末项3n-4，项数（n-1），和为[(2+3n-4)(n-1)]/2 = (3n-2)(n-1)/2
则第n个数字S = 3×(3n-2)(n-1)/2
当n=23时，S = 3×(3×23 - 2)(23 - 1)/2 = 3×67×22/2 = 3×67×11 = 2211
答案：2211

4. 观察下列代数式：①$3^2 - 4 × 1^2$,②$5^2 - 4 × 2^2$,③$7^2 - 4 × 3^2$,…
尝试：请你按照以上三个代数式的规律写出第④个、第⑤个代数式；
发现：请你用这个规律表示出第$n$个代数式.

答案： 【解析】：
观察给出的代数式，我们可以发现每个代数式都遵循一定的规律。首先，我们注意到每个代数式都是由两个平方数相减构成，其中被减数是一个逐渐增大的奇数的平方，而减数则是4乘以一个逐渐增大的自然数的平方。
1. 对于第①个代数式，被减数是$3^2$，其中3可以表示为$2×1+1$；减数是$4×1^2$，其中1就是自然数1。
2. 对于第②个代数式，被减数是$5^2$，其中5可以表示为$2×2+1$；减数是$4×2^2$，其中2就是自然数2。
3. 对于第③个代数式，被减数是$7^2$，其中7可以表示为$2×3+1$；减数是$4×3^2$，其中3就是自然数3。
根据这个规律，我们可以推断出：
* 第④个代数式的被减数应该是$2×4+1=9$的平方，即$9^2$；减数应该是$4×4^2$。所以第④个代数式是$9^2 - 4 × 4^2$。
* 第⑤个代数式的被减数应该是$2×5+1=11$的平方，即$11^2$；减数应该是$4×5^2$。所以第⑤个代数式是$11^2 - 4 × 5^2$。
* 对于第$n$个代数式，被减数应该是$2n+1$的平方，即$(2n+1)^2$；减数应该是$4× n^2$。所以第$n$个代数式可以表示为$(2n+1)^2 - 4n^2$。
【答案】：
尝试：第④个代数式为$9^2 - 4 × 4^2$，第⑤个代数式为$11^2 - 4 × 5^2$。
发现：第$n$个代数式为$(2n+1)^2 - 4n^2$。

5. 观察下列等式：$\frac{1}{1 × 2} = 1 - \frac{1}{2}$,$\frac{1}{2 × 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$,$\frac{1}{3 × 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$,…
(1)猜想并写出：$\frac{1}{n(n+1)} = $$\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$；
(2)求出下面式子的计算结果：$\frac{1}{1 × 2} + \frac{1}{2 × 3} + \frac{1}{3 × 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)}.$
$\frac{n}{n+1}$

答案： 【解析】：
(1)观察给出的等式，我们可以发现每个等式都可以表示为两个连续整数的乘积的倒数等于这两个整数的倒数之差。
因此，对于$\frac{1}{n(n+1)}$，我们可以猜想它等于$\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$。
(2)对于求和的式子，我们可以将每个分数都拆分为两个分数的差，然后观察这些差在求和过程中的抵消情况。
具体来说，
$\frac{1}{1 × 2} + \frac{1}{2 × 3} + \frac{1}{3 × 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)}$
$= (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$
$= 1 - \frac{1}{n+1}$
$= \frac{n}{n+1}$
【答案】：
(1)$\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$
(2)$\frac{n}{n+1}$