《2025年云南省标准教辅优佳学案七年级数学上册人教版》

9. 13世纪数学家斐波那契的《计算之书》中有这样一个问题：在罗马有7位老妇人,每人赶着7头毛驴,每头驴驮着7个口袋,每个口袋里装着7个面包,每个面包附有7把餐刀,每把餐刀有7把刀鞘,则刀鞘数为117649.

答案： 【解析】：
这个问题是一个典型的运用有理数的乘方来解决的问题。
首先，有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，所以毛驴的总数是$7 × 7 = 7^2$。
接着，每头驴驮着7个口袋，所以口袋的总数是$7^2 × 7 = 7^3$。
然后，每个口袋里装着7个面包，所以面包的总数是$7^3 × 7 = 7^4$。
每个面包附有7把餐刀，所以餐刀的总数是$7^4 × 7 = 7^5$。
最后，每把餐刀有7把刀鞘，所以刀鞘的总数是$7^5 × 7 = 7^6=117649$。
这个问题实际上是在考察有理数的乘方运算，通过连续的乘法运算，我们可以得到最后的答案。
【答案】：
117649

10.有一张面积为$64m^2$的正方形纸片,第1次剪掉一半,第2次剪掉剩下纸片的一半,如此继续下去,第6次后剩下的纸片的面积是多少？

答案： 解：第1次剪掉一半后剩下的面积为$64×\frac{1}{2} = 32(m^2)$；
第2次剪掉剩下纸片的一半后剩下的面积为$64×\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 16(m^2)$；
……
第n次后剩下的纸片的面积为$64×\left(\frac{1}{2}\right)^n(m^2)$。
当$n = 6$时，$64×\left(\frac{1}{2}\right)^6 = 64×\frac{1}{64}=1(m^2)$。
答：第6次后剩下的纸片的面积是$1m^2$。

11.(易错题)下列各式中,相等的是(D).
A.$2^3和3^2$
B.$-(-2)和-|-2|$
C.$(-2)^3和|-2|^3$
D.$(-3)^3和-3^3$

答案： 【解析】：
本题主要考察有理数的乘方运算以及绝对值运算。
A选项：计算$2^3$和$3^2$的值，然后比较是否相等。
$2^3 = 8$，$3^2 = 9$，因为8不等于9，所以A选项错误。
B选项：计算$-(-2)$和$-|-2|$的值，然后比较是否相等。
$-(-2) = 2$，$-|-2| = -2$，因为2不等于-2，所以B选项错误。
C选项：计算$(-2)^3$和$|-2|^3$的值，然后比较是否相等。
$(-2)^3 = -8$，$|-2|^3 = 2^3 = 8$，因为-8不等于8，所以C选项错误。
D选项：计算$(-3)^3$和$-3^3$的值，然后比较是否相等。
$(-3)^3 = -27$，$-3^3 = -(3^3) = -27$，因为-27等于-27，所以D选项正确。
【答案】：
D

12.已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,x的绝对值为2,则$x^2+(a+b)^9+(-cd)^{99}= $3.

答案： 解：因为a，b互为相反数，所以$a + b = 0$；
因为c，d互为倒数，所以$cd = 1$；
因为x的绝对值为2，所以$x^2 = 2^2 = 4$。
则原式$= 4 + 0^9 + (-1)^{99}$
$= 4 + 0 + (-1)$
$= 3$
3

13.如图,一质点P从距原点1个单位长度的点A处向原点方向跳动,第一次跳动到OA的中点$A_1$处,第二次从点$A_1跳动到OA_1的中点A_2$处,第三次从点$A_2跳动到OA_2的中点A_3$处,如此不断跳动下去,则第五次跳动后,该质点到原点O的距离为______$\frac{1}{32}$.

答案： 解：由题意知，点A到原点O的距离为1。
第一次跳动到OA的中点A₁处，此时质点到原点的距离为$1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$；
第二次跳动到OA₁的中点A₂处，此时质点到原点的距离为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$；
第三次跳动到OA₂的中点A₃处，此时质点到原点的距离为$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}$；
……
依此类推，第n次跳动后，质点到原点的距离为$(\frac{1}{2})^n$。
则第五次跳动后，该质点到原点O的距离为$(\frac{1}{2})^5=\frac{1}{32}$。
$\frac{1}{32}$

14.计算：
(1)$\frac{4}{9}×\left(-\frac{2}{3}\right)^2$；
(2)$-\frac{1}{3}×(-3)^3$.

答案： 【解析】：
本题主要考查有理数的乘方运算及乘法运算。
(1) 对于 $\frac{4}{9} × \left(-\frac{2}{3}\right)^2$，首先计算乘方部分 $\left(-\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$，然后再与 $\frac{4}{9}$ 相乘。
(2) 对于 $-\frac{1}{3} × (-3)^3$，首先计算乘方部分 $(-3)^3 = -27$，然后再与 $-\frac{1}{3}$ 相乘。
【答案】：
(1) 解：
$\frac{4}{9} × \left(-\frac{2}{3}\right)^2$
$= \frac{4}{9} × \frac{4}{9}$
$= \frac{16}{81}$
(2) 解：
$-\frac{1}{3} × (-3)^3$
$= -\frac{1}{3} × (-27)$
$= 9$

15.若$|a|= 1$,$b^2= 4$,且$ab＜0$,求$a+b$的值.

答案： 【解析】：
本题主要考察绝对值的性质、平方的性质以及有理数的乘法运算。
首先，根据题目给出的条件，$|a| = 1$，由绝对值的性质可知，$a$ 可以是 $1$ 或 $-1$。
同样，$b^2 = 4$，由平方的性质可知，$b$ 可以是 $2$ 或 $-2$。
接下来，利用条件 $ab ＜ 0$ 来确定 $a$ 和 $b$ 的具体取值。
由于 $ab ＜ 0$，说明 $a$ 和 $b$ 必须是异号。
当 $a = 1$ 时，为了满足 $ab ＜ 0$，$b$ 必须是 $-2$。
当 $a = -1$ 时，为了满足 $ab ＜ 0$，$b$ 必须是 $2$。
最后，根据这两种情况分别求出 $a+b$ 的值。
当 $a = 1, b = -2$ 时，$a+b = 1 + (-2) = -1$。
当 $a = -1, b = 2$ 时，$a+b = -1 + 2 = 1$。
【答案】：
$a+b$ 的值为 $-1$ 或 $1$。

16.(运算能力)求出下列各组两个算式的值,你能发现什么规律？
(1)$\left(\frac{1}{2}\right)^3×2^3与\left(\frac{1}{2}×2\right)^3$；
(2)$\left(-\frac{1}{3}\right)^3×4^3与\left(-\frac{1}{3}×4\right)^3$；
(3)$(-1)^4×2^4与(-1×2)^4$；
(4)$(-5)^2×4^2与(-5×4)^2$.
试用你发现的规律计算$(-0.25)^{2023}×4^{2024}$的值.

答案： 【解析】：
本题主要考查了有理数的乘方运算以及通过观察算式找出运算规律。
首先，我们分别计算各组算式的值。
对于第一组算式：
$\left(\frac{1}{2}\right)^3 × 2^3 = \frac{1}{8} × 8 = 1$
$\left(\frac{1}{2} × 2\right)^3 = 1^3 = 1$
对于第二组算式：
$\left(-\frac{1}{3}\right)^3 × 4^3 = -\frac{1}{27} × 64 = -\frac{64}{27}$
$\left(-\frac{1}{3} × 4\right)^3 = \left(-\frac{4}{3}\right)^3 = -\frac{64}{27}$
对于第三组算式：
$(-1)^4 × 2^4 = 1 × 16 = 16$
$(-1 × 2)^4 = (-2)^4 = 16$
对于第四组算式：
$(-5)^2 × 4^2 = 25 × 16 = 400$
$(-5 × 4)^2 = (-20)^2 = 400$
通过观察，我们可以发现规律：两个数的相同次幂的积等于这两个数乘积的相同次幂，即 $a^n × b^n = (a × b)^n$。
接下来，我们利用这个规律来计算 $(-0.25)^{2023} × 4^{2024}$：
$(-0.25)^{2023} × 4^{2024} = (-0.25)^{2023} × 4^{2023} × 4 = \left[(-0.25) × 4\right]^{2023} × 4 = (-1)^{2023} × 4 = -4$
【答案】：
(1) $\left(\frac{1}{2}\right)^3 × 2^3 = 1$，$\left(\frac{1}{2} × 2\right)^3 = 1$；
(2) $\left(-\frac{1}{3}\right)^3 × 4^3 = -\frac{64}{27}$，$\left(-\frac{1}{3} × 4\right)^3 = -\frac{64}{27}$；
(3) $(-1)^4 × 2^4 = 16$，$(-1 × 2)^4 = 16$；
(4) $(-5)^2 × 4^2 = 400$，$(-5 × 4)^2 = 400$；
规律：$a^n × b^n = (a × b)^n$；
$(-0.25)^{2023} × 4^{2024} = -4$。