《2025年云南省标准教辅优佳学案七年级数学上册人教版》

6. 《九章算术》是我国古代数学名著,卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊,每人出5钱,会差45钱；每人出7钱,会差3钱. 问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为$x$人,所列方程正确的是(B).
A.$5x - 45 = 7x - 3$
B.$5x + 45 = 7x + 3$
C.$\frac{x + 45}{5} = \frac{x + 3}{7}$
D.$\frac{x - 45}{5} = \frac{x - 3}{7}$

答案： 解：设合伙人数为$x$人。
每人出5钱差45钱，羊价为$5x + 45$；
每人出7钱差3钱，羊价为$7x + 3$。
因为羊价不变，所以$5x + 45 = 7x + 3$。
B

7. 关于$x的方程2x - 4 = 3m和x + 2 = m$有相同的解,则$m$的值是(C).
A.10
B.8
C.-8
D.-10

答案： 解：由方程$x + 2 = m$，得$x = m - 2$。
将$x = m - 2$代入方程$2x - 4 = 3m$，
得$2(m - 2) - 4 = 3m$。
去括号，得$2m - 4 - 4 = 3m$。
移项，得$2m - 3m = 4 + 4$。
合并同类项，得$-m = 8$。
系数化为1，得$m = -8$。
C

8. 一种商品每件成本价为$a$元,原来按成本价增加40%定价出售,现在由于库存积压,打八折出售,则每件盈利(B).
A.$0.1a$元
B.$0.12a$元
C.$0.15a$元
D.$0.2a$元

答案： 解：原来定价为成本价增加40%，即定价为$a + 40\%a = 1.4a$元。
现在打八折出售，售价为$1.4a × 80\% = 1.4a × 0.8 = 1.12a$元。
每件盈利 = 售价 - 成本价，即$1.12a - a = 0.12a$元。
答案：B

9. 已知$x = 2$是关于$x$的方程$5x - 3a = 1$的解,则$a$的值是______3.

答案： 解：因为$x = 2$是方程$5x - 3a = 1$的解，所以将$x = 2$代入方程得：
$5×2 - 3a = 1$
$10 - 3a = 1$
$-3a = 1 - 10$
$-3a = -9$
$a = 3$
3

10. 小明解方程$\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + a}{2} - 3$,去分母时,方程右边的$-3$忘记乘6,因而求出的解是$x = 2$,则原方程正确的解是______-13.

答案： 解：小明去分母时，方程右边的$-3$忘记乘$6$，此时方程变形为：
$2(2x - 1) = 3(x + a) - 3$
把$x = 2$代入得：
$2×(2×2 - 1) = 3×(2 + a) - 3$
$2×3 = 6 + 3a - 3$
$6 = 3 + 3a$
$3a = 3$
$a = 1$
原方程为$\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + 1}{2} - 3$
去分母，得$2(2x - 1) = 3(x + 1) - 18$
去括号，得$4x - 2 = 3x + 3 - 18$
移项，得$4x - 3x = 3 - 18 + 2$
合并同类项，得$x = -13$
$-13$

11. 已知关于$x的方程kx - 1 = 2(x + 1)$的解为整数,且$k$为整数,则满足条件的所有$k$的值为$-1$，$1$，$3$，$5$.

答案： 解：方程$kx - 1 = 2(x + 1)$，
去括号得$kx - 1 = 2x + 2$，
移项得$kx - 2x = 2 + 1$，
合并同类项得$(k - 2)x = 3$，
当$k - 2 \neq 0$，即$k \neq 2$时，$x = \frac{3}{k - 2}$。
因为方程的解$x$为整数，且$k$为整数，
所以$k - 2$是$3$的因数，
$3$的因数为$\pm 1$，$\pm 3$，
则$k - 2 = 1$时，$k = 3$；
$k - 2 = -1$时，$k = 1$；
$k - 2 = 3$时，$k = 5$；
$k - 2 = -3$时，$k = -1$。
满足条件的所有$k$的值为$-1$，$1$，$3$，$5$。

12. 《九章算术》记载了这样一道题：以绳测井,若将绳三折测之,绳多四尺；若将绳四折测之,绳多一尺,问绳长井深各几何. 题意是：用绳子测量水井深度,如果将绳子折成三等份,那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份,那么每等份井外余绳一尺. 问绳长和井深各多少尺？假设绳长为$x$尺,则可列方程为$\frac{x}{3} - 4 = \frac{x}{4} - 1$.

答案： 【解析】：
这是一个典型的代数应用题，需要根据题目描述建立数学模型，即列出方程。
题目描述了两种测量水井深度的方法，一种是将绳子折成三等份，每份井外余绳四尺；另一种是将绳子折成四等份，每份井外余绳一尺。
假设绳长为$x$尺，我们需要找出井深与绳长的关系，进而列出方程。
1. 当绳子折成三等份时，每份长度为$\frac{x}{3}$尺，井外余绳为四尺，所以井深为$\frac{x}{3} - 4$尺。
2. 当绳子折成四等份时，每份长度为$\frac{x}{4}$尺，井外余绳为一尺，所以井深为$\frac{x}{4} - 1$尺。
由于井深是固定的，所以我们可以得到方程：
$\frac{x}{3} - 4 = \frac{x}{4} - 1$。
【答案】：
$\frac{x}{3} - 4 = \frac{x}{4} - 1$。

13. 解下列一元一次方程：
(1)$2x + 2 = 3(x + 1)$；
(2)$\frac{x}{6} - \frac{30 - x}{4} = 5$；
(3)$\frac{2x - 1}{3} - \frac{5 - x}{6} = -1$；
(4)$1 - \frac{1}{2}(x - 1) = \frac{2}{3}(x + 2)$.

答案：
(1)解：$2x + 2 = 3(x + 1)$
$2x + 2 = 3x + 3$
$2x - 3x = 3 - 2$
$-x = 1$
$x = -1$
(2)解：$\frac{x}{6} - \frac{30 - x}{4} = 5$
$2x - 3(30 - x) = 60$
$2x - 90 + 3x = 60$
$5x = 150$
$x = 30$
(3)解：$\frac{2x - 1}{3} - \frac{5 - x}{6} = -1$
$2(2x - 1) - (5 - x) = -6$
$4x - 2 - 5 + x = -6$
$5x - 7 = -6$
$5x = 1$
$x = \frac{1}{5}$
(4)解：$1 - \frac{1}{2}(x - 1) = \frac{2}{3}(x + 2)$
$6 - 3(x - 1) = 4(x + 2)$
$6 - 3x + 3 = 4x + 8$
$9 - 3x = 4x + 8$
$-3x - 4x = 8 - 9$
$-7x = -1$
$x = \frac{1}{7}$