《2025年云南省标准教辅优佳学案七年级数学上册人教版》

3. 甲、乙两人在环形跑道上同时同地出发,同向跑步,甲的速度为7 m/s,乙的速度为6.5 m/s. 若跑道一周的长为400 m,设经过x s后甲、乙两人第一次相遇,则列方程为7x - 6.5x = 400.

答案： 【解析】：
本题主要考察的是环形跑道上的追及问题。
甲和乙两人在同一个环形跑道上同时同地出发，同向跑步。
甲的速度比乙快，所以甲会慢慢追上乙。
当甲追上乙时，即两人相遇时，甲比乙多跑了一圈的距离，也就是400m。
设经过$x$秒后甲、乙两人第一次相遇，那么甲在$x$秒内跑的距离是$7x$米，乙在$x$秒内跑的距离是$6.5x$米。
由于甲比乙多跑了400米，所以可以列出方程：$7x - 6.5x = 400$。
【答案】：
方程为：$7x - 6.5x = 400$。

4. 甲、乙两人环湖竞走,环湖一周为400 m,乙的速度是80 m/min,甲的速度是乙的$\frac{5}{4}$倍,且竞走开始时甲在乙前100 m处,经过多少分钟两人第一次相遇？

答案： 解：甲的速度为 $80 × \frac{5}{4} = 100$ m/min。
设经过 $x$ 分钟两人第一次相遇。
情况一：甲在乙前方100 m，甲速度快，甲追上乙时，甲比乙多走 $400 - 100 = 300$ m。
根据路程差列方程：$100x - 80x = 300$
解得：$20x = 300$，$x = 15$
答：经过15分钟两人第一次相遇。

5. A,B两地相距200 km,甲骑摩托车以40 km/h的速度从A地向B地行驶,半小时后乙开车以60 km/h的速度从A地向B地行驶,则当两人相距10 km时,甲骑摩托车行驶的时间是(C).
A.1 h
B.1 h或1.5 h
C.1 h或2 h
D.1.5 h或2 h

答案： 解：设甲骑摩托车行驶的时间是$t$小时。
甲行驶的路程：$40t$ km。
乙比甲晚出发半小时，乙行驶的时间为$(t - 0.5)$小时（$t \geq 0.5$时乙开始行驶），乙行驶的路程：$60(t - 0.5)$ km。
情况一：乙未追上甲，两人相距10 km。
$40t - 60(t - 0.5) = 10$
$40t - 60t + 30 = 10$
$-20t = -20$
$t = 1$
情况二：乙追上甲后，超过甲10 km。
$60(t - 0.5) - 40t = 10$
$60t - 30 - 40t = 10$
$20t = 40$
$t = 2$
当$t ＜ 0.5$时，乙未出发，甲行驶路程为$40t$，两人距离为$40t$，令$40t = 10$，得$t = 0.25$，但选项中无此答案，故舍去。
综上，甲骑摩托车行驶的时间是1 h或2 h。
答案：C

6. 我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》中,记载了这样一道题：今有良马日行二百四十里,驽马日行一百五十里,驽马先行一十二日,问良马几何日追及之. 其大意是：快马每天行240里,慢马每天行150里,慢马先行12天,快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马,由题意得(D).
A.$\frac{x}{240} = \frac{x + 12}{150}$
B.$\frac{x}{240} = \frac{x}{150} - 12$
C.$240(x - 12) = 150x$
D.$240x = 150(x + 12)$

答案： 解：设快马$x$天可追上慢马。
慢马先行12天，所以慢马行驶的总时间为$(x + 12)$天。
快马行驶的路程为$240x$里，慢马行驶的路程为$150(x + 12)$里。
当快马追上慢马时，两者行驶路程相等，可得方程：$240x = 150(x + 12)$。
答案：D

7. A,B两地相距480 km,一列慢车从A地出发,每小时行驶60 km,一列快车从B地出发,每小时行驶65 km.
(1)两车同时出发相向而行,x h相遇,列方程为60x + 65x = 480；
(2)两车同时出发相背而行,x h后两车相距620 km,列方程为60x + 65x + 480 = 620；
(3)快车向A地出发6 h后慢车出发,同向而行,快车出发x h后追上慢车,列方程为65x - 60(x - 6) = 480.

答案：
(1)解：60x + 65x = 480
(2)解：60x + 65x + 480 = 620
(3)解：65x - 60(x - 6) = 480

8.(运算能力、应用意识)甲、乙两人沿一条400 m长的环形跑道匀速跑步,甲的速度是乙速度的1.5倍,他们从同一起点,朝同一方向同时出发,8 min后甲第一次追上乙.
(1)甲、乙两人跑步的速度分别为多少？
(2)若甲、乙两人从6:00一起出发,同时背向而行,则第五次相遇是几时几分？

答案：
(1)解：设乙的速度为$x$ m/min，则甲的速度为$1.5x$ m/min。
8 min内甲跑的路程为$8×1.5x = 12x$ m，乙跑的路程为$8x$ m。
甲第一次追上乙时，甲比乙多跑一圈，即400 m，可得方程：
$12x - 8x = 400$
$4x = 400$
$x = 100$
则甲的速度为$1.5×100 = 150$ m/min。
答：甲的速度为150 m/min，乙的速度为100 m/min。
(2)解：两人背向而行，速度和为$150 + 100 = 250$ m/min。
第五次相遇时，两人共跑了$5×400 = 2000$ m。
所用时间为$2000÷250 = 8$ min。
6:00出发，经过8 min，时间为6:08。
答：第五次相遇是6时8分。