《2025年云南省标准教辅优佳学案七年级数学上册人教版》

【例1】小华在学习了用字母表示数的内容后,对用字母表示规律产生了浓厚的兴趣,他用长度完全相等的小木棒搭建了如图所示的四个图形.
(1)观察图形,其中图(1)用了12根小木棒,图(2)用了22根小木棒,图(3)用了32根小木棒；
(2)若按小华的方式继续搭建,猜想图(n)中,小木棒的根数是多少？
解：观察图形可知，图(1)小木棒根数为12=10×1+2，图(2)为22=10×2+2，图(3)为32=10×3+2，所以猜想图(n)中小木棒的根数是10n+2
(3)根据(2)中的猜想,当n= 300时,用了多少根小木棒？
解：当n=300时，10×300+2=3002，故用了3002根小木棒

答案：
(1)12；22；32
(2)解：观察图形可知，图
(1)小木棒根数为12=10×1+2，图
(2)为22=10×2+2，图
(3)为32=10×3+2，所以猜想图(n)中小木棒的根数是10n+2
(3)解：当n=300时，10×300+2=3002，故用了3002根小木棒

【例2】密码的使用在现代社会极其重要. 现有一种密码的明文(真实文),其中的字母按计算机键盘顺序分别与26个自然数1,2,3,…,25,26对应(见表). 设明文的任一字母所对应的自然数为x,且通过某种规定的对应运算把x转化为对应的自然数x',x'对应的字母为密文.

例如,有一种译码方法按照以下变换实现：x→x',其中x'是(3x+2)被26除所得余数与1之和(1≤x≤26). 若x= 1,x'= 6,即明文Q译为密文Y；若x= 10,x'= 7,即明文P译为密文U.
现有某种变换,将明文字母对应的自然数x变换为密文字母对应的自然数x'：x→x',x'为(3x+m)被26除所得余数与1之和(1≤x≤26,1≤m≤26). 已知运用此变换,明文V译为密文M.
(1)求此变换中m的值；
(2)求明文VKHA对应的密文.

答案：
(1)解：由表知明文V对应x=23，密文M对应x'=26。
根据变换规则：x'为(3x+m)被26除所得余数与1之和，可得
26 = [(3×23 + m) mod 26] + 1
即(69 + m) mod 26 = 25
69÷26=2……17，所以(17 + m) mod 26 = 25
则17 + m = 25 + 26k（k为整数）
因为1≤m≤26，k=0时，m=8
故m=8
(2)解：由
(1)知变换规则为x' = [(3x + 8) mod 26] + 1
明文V对应x=23：[(3×23 + 8) mod 26] + 1=(69+8) mod26 +1=77 mod26 +1=25+1=26→M
明文K对应x=18：[(3×18 + 8) mod26]+1=(54+8) mod26 +1=62 mod26 +1=10+1=11→A
明文H对应x=16：[(3×16 + 8) mod26]+1=(48+8) mod26 +1=56 mod26 +1=4+1=5→T
明文A对应x=11：[(3×11 + 8) mod26]+1=(33+8) mod26 +1=41 mod26 +1=15+1=16→H
故明文VKHA对应的密文为MATH