《2025年云南省标准教辅优佳学案七年级数学上册人教版》

1.乘方的意义
求n个相同因数的积的运算,叫作乘方,乘方的结果叫作幂.在$a^n$中,a叫作底数,n叫作指数,读作“a的n次方”或“a的n次幂”.

答案： 【解析】：本题主要考查乘方的基本概念，包括乘方的定义、乘方的结果、乘方中各个部分的名称以及乘方的读法。根据乘方的定义，我们知道乘方是求n个相同因数的积的运算，这个结果被称为幂。在$a^n$这个表达式中，a是底数，n是指数。这个表达式可以读作“a的n次方”或“a的n次幂”。
【答案】：相同因数；幂；底数；指数；a的n次方；a的n次幂。

2.乘方的性质
正数的任何次幂都是正数,负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数,0的任何正整数次幂都是0.即当n为奇数时,$(-a)^n= -a^n$；当n为偶数时,$(-a)^n= a^n$.

答案： 【解析】：
本题考查了有理数的乘方性质，特别是正数、负数、0的乘方规律以及负数的奇次幂和偶次幂的性质。
正数的任何次幂：由于正数乘以正数结果仍为正数，所以正数的任何次幂都是正数。
负数的奇次幂：负数的奇次幂意味着负数乘以自身奇数次，结果仍为负数。
负数的偶次幂：负数的偶次幂意味着负数乘以自身偶数次，相当于负数的平方的整数次幂，结果为正数。
0的任何正整数次幂：0乘以任何数都为0，所以0的任何正整数次幂都是0。
【答案】：
正；负；正；0。

【例1】下列说法中,正确的是(D).
A.$-2^8$的底数是-2
B.$2^5$表示5个2相加
C.$(-3)^3与-3^3$的意义相同
D.$2^8$的底数是2
易混辨析
$(-a)^n与-a^n$的区别：
$(-a)^n$表示n个-a相乘,$-a^n$表示n个a相乘的相反数.
注意：当底数是分数或负数时,一定用括号括起来.

答案： 解：
A. $-2^8$的底数是2，不是-2，故A错误；
B. $2^5$表示5个2相乘，不是相加，故B错误；
C. $(-3)^3$表示3个-3相乘，$-3^3$表示3个3相乘的相反数，意义不同，故C错误；
D. $2^8$的底数是2，故D正确.
答案：D

【变式1】$(-5)^3$的意义是三个$-5$相乘,$-5^3$的意义是$5$的三次方的相反数.

答案： 【解析】：
本题主要考察有理数的乘方运算及其意义。
对于$(-5)^3$，它表示三个$-5$进行相乘，即$(-5) × (-5) × (-5)$。
对于$-5^3$，由于负号在乘方运算的外面，因此它只表示对$5^3$的结果取负，即$-(5 × 5 × 5)$。
【答案】：
$(-5)^3$的意义是三个$-5$相乘；
$-5^3$的意义是$5$的三次方的相反数。

【例2】计算：
(1)$6^3$； (2)$-(-2)^3$.

答案：
(1)解：$6^3 = 6×6×6 = 216$
(2)解：$-(-2)^3 = -[(-2)×(-2)×(-2)] = -(-8) = 8$

(1)有理数的乘方运算可转化为乘法运算；
(2)分数的乘方运算既可以转化为乘法运算,也可以将分子、分母分别乘方进行运算,如果底数是带分数,要化为假分数；底数是小数,也可以化为分数进行运算.

答案： 【解析】：
本题主要考查有理数的乘方运算规则。
(1) 有理数的乘方运算可以转化为乘法运算，即$a^n = \underbrace{a × a × \cdots × a}_{n个}$。
(2) 分数的乘方运算有两种方法：
一是转化为乘法运算，即$(\frac{a}{b})^n = \underbrace{\frac{a}{b} × \frac{a}{b} × \cdots × \frac{a}{b}}_{n个}$；
二是将分子、分母分别乘方进行运算，即$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$。
同时，如果底数是带分数，需要先化为假分数；底数是小数，也可以先化为分数进行运算。
【答案】：
(1) 有理数的乘方运算就是重复乘法，如$a^3 = a × a × a$。
(2) 分数的乘方可以有两种方法：
一是连续乘法，如$(\frac{2}{3})^3 = \frac{2}{3} × \frac{2}{3} × \frac{2}{3}$；
二是分别乘方，如$(\frac{2}{3})^3 = \frac{2^3}{3^3}$。
带分数如$1\frac{1}{2}$，需要先转为假分数$\frac{3}{2}$再运算。
小数如$0.5$，可以转为分数$\frac{1}{2}$再运算。

【变式2】下列各式中,计算正确的是(D).
A.$\left(-\frac{2}{3}\right)^2= \frac{4}{3}$
B.$2^3= 6$
C.$-3^2= 9$
D.$-2^3= -8$

答案： 解：
A. $\left(-\frac{2}{3}\right)^2 = \left(-\frac{2}{3}\right) × \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{9} \neq \frac{4}{3}$，故A错误；
B. $2^3 = 2 × 2 × 2 = 8 \neq 6$，故B错误；
C. $-3^2 = - (3 × 3) = -9 \neq 9$，故C错误；
D. $-2^3 = - (2 × 2 × 2) = -8$，故D正确。
答案：D

【例3】有一种纸的厚度为0.1 mm,若拿两张重叠在一起,将它对折一次后,厚度为$2^2×0.1$ mm.
(1)对折2次后,厚度为多少毫米？
(2)对折6次后,厚度为多少毫米？
规律总结
根据对折规律,每对折一次,厚度是前一次的2倍,所以对折n次后,厚度为对折前的$2^n$倍.

答案：
(1)解：对折2次后，厚度为$2^{2+1}×0.1=2^3×0.1=8×0.1=0.8$mm。
(2)解：对折6次后，厚度为$2^{6+1}×0.1=2^7×0.1=128×0.1=12.8$mm。