《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

1. 复习.
| | 同底数幂的乘法 | 幂的乘方 | 积的乘方 |
| --- | --- | --- | --- |
| 公式 | $ a ^ { m } \cdot a ^ { n } = $$a^{m + n}$ | $ ( a ^ { m } ) ^ { n } = $$a^{mn}$ | $ ( a b ) ^ { n } = $$a^{n}b^{n}$ |
| 举例 | (1)$ a ^ { 2 } \cdot a ^ { 3 } = $$a^{5}$；(2)$ 2 ^ { 3 } × 2 ^ { 4 } = $$2^{7}$. | (1)$ ( a ^ { 3 } ) ^ { 2 } = $$a^{6}$；(2)$ ( 2 ^ { 3 } ) ^ { 4 } = $$2^{12}$. | (1)$ ( x ^ { 2 } y ) ^ { 2 } = $$x^{4}y^{2}$；(2)$ ( 3 a ^ { 2 } ) ^ { 3 } = $$27a^{6}$. |

答案： $a^{m + n}$
(1)$a^{5}$
(2)$2^{7}$
$a^{mn}$
(1)$a^{6}$
(2)$2^{12}$
$a^{n}b^{n}$
(1)$x^{4}y^{2}$
(2)$27a^{6}$

2. (1)$ 3 x \cdot 2 x ^ { 2 } = ( 3 × 2 ) \cdot ( x \cdot x ^ { 2 } ) = $$6x^{3}$；(2)$ 3 x \cdot ( - 2 x y ) = 3 × ( - 2 ) \cdot ( x \cdot x ) \cdot y = $$-6x^{2}y$.
一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

答案：
(1)$6x^{3}$
(2)$-6x^{2}y$ 相乘

【例1】计算：
(1)$ 5 a \cdot 3 a ^ { 2 } = $$15a^{3}$；
(2)$ ( - 4 a ) \cdot ( 2 a b ) = $$-8a^{2}b$；
(3)$ x y ^ { 3 } \cdot \left( - \frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } \right) = $$-\frac{1}{3}x^{3}y^{3}$；
(4)$ ( - a ^ { 2 } b ) \cdot ( - a ) = $$a^{3}b$.

答案：
(1)$15a^{3}$
(2)$-8a^{2}b$
(3)$-\frac{1}{3}x^{3}y^{3}$
(4)$a^{3}b$

【变式1】计算：
(1)$ 2 x ^ { 2 } \cdot 3 x y = $$6x^{3}y$；
(2)$ 2 t ^ { 2 } \cdot t ^ { 3 } \cdot t = $$2t^{6}$；
(3)$ ( - 3 x ^ { 3 } ) \cdot 6 x ^ { 4 } = $$-18x^{7}$；
(4)$ ( - x ^ { 2 } y ) \cdot ( - x ^ { 2 } y ^ { 4 } ) = $$x^{4}y^{5}$.

答案：
(1)$6x^{3}y$
(2)$2t^{6}$
(3)$-18x^{7}$
(4)$x^{4}y^{5}$

【例2】计算：
(1)$ ( 2 x ) ^ { 3 } \cdot ( - 5 x y ^ { 2 } ) $；
(2)$ ( - 2 m ^ { 2 } n ) ^ { 2 } \cdot ( 3 m ^ { 2 } ) ^ { 3 } $.

答案： 解：
(1)原式$=8x^{3}\cdot (-5xy^{2})$
$=-40x^{4}y^{2}$
(2)原式$=4m^{4}n^{2}\cdot 27m^{6}$
$=108m^{10}n^{2}$

【变式2】计算：
(1)$ ( 3 x ^ { 2 } y ) ^ { 2 } \cdot ( - 4 y ) $；
(2)$ ( 2 a ) ^ { 2 } \cdot ( - 5 a ^ { 3 } m ) ^ { 2 } $.

答案： 解：
(1)原式$=9x^{4}y^{2}\cdot (-4y)$
$=-36x^{4}y^{3}$
(2)原式$=4a^{2}\cdot 25a^{6}m^{2}$
$=100a^{8}m^{2}$

【例3】一个长方体的长为$ 3 \times 10 ^ { 4 } \mathrm { cm } $，宽为$ 2 \times 10 ^ { 5 } \mathrm { cm } $，高为$ 5 \times 10 ^ { 6 } \mathrm { cm } $，求长方体的体积.

答案： 解：$(3\times 10^{4})\times (2\times 10^{5})\times (5\times 10^{6})$
$=3\times 2\times 5\times 10^{4 + 5 + 6}$
$=3\times 10^{16}(cm^{3})$
答：长方体的体积是$3\times 10^{16}cm^{3}$

【变式3】一台计算机每秒可做$ 10 ^ { 10 } $次运算，它在$ 5 \times 10 ^ { 2 } \mathrm { s } $内可做多少次运算？

答案： 解：$10^{10}\times 5\times 10^{2}=5\times 10^{12}$（次）
答：这台计算机在$5\times 10^{2}s$内可做$5\times 10^{12}$次运算。