《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

【例3】（人教教材P117T6）如图，一块直径为$(a+b)\mathrm{cm}$的圆形钢板，从中挖去直径分别为$a\mathrm{cm}$与$b\mathrm{cm}$的两个圆，求剩下的钢板的面积.

答案： 解：$S_{剩下}=S_{大圆}-S_{小圆1}-S_{小圆2}=π\cdot (\frac {a+b}{2})^{2}-π\cdot (\frac {a}{2})^{2}-π\cdot (\frac {b}{2})^{2}=\frac {π[(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}]}{4}=\frac {πab}{2}(cm^{2}).$
答：剩下的钢板的面积是$\frac {πab}{2}cm^{2}.$

【变式3】（人教教材P121T10）如图是一水压机空心钢立柱的示意图.如果其高$h$为$18\mathrm{m}$，外径$D$为$1\mathrm{m}$，内径$d$为$0.4\mathrm{m}$，每立方米钢的质量为$7.8\mathrm{t}$，求该立柱的质量.（$\pi$取$3.14$，结果保留小数点后两位）

答案： 解：$\because$空心钢外径$D$为$1m$，内径$d$为$0.4m$，高$h$为$18m$，
$\therefore$每根的体积为$18×(0.5^{2}-0.2^{2})π=3.78π(m^{3}).$
$\because$每立方米钢的质量为$7.8t$，
$\therefore$立柱的质量为$3.78×3.14×7.8\approx 92.58(t).$
答：该立柱的质量为$92.58t$.

【例4】（人教教材P122T12）某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有三种方案：
①第一次提价$p\%$，第二次提价$q\%$；
②第一次提价$q\%$，第二次提价$p\%$；
③第一、二次提价均为$\frac{p+q}{2}\%$.
其中$p$，$q$是不相等的正数.三种方案哪种提价最多？
（提示：因为$p\neq q$，$(p-q)^{2}=p^{2}-2pq+q^{2}＞0$，所以$p^{2}+q^{2}＞2pq$）

答案： 解：把产品的原料最开始价格看成$a$，则：
方案①：$a(1+p\% )(1+q\% );$
方案②：$a(1+q\% )(1+p\% );$
方案③：$a(1+\frac {p+q}{2}\% )(1+\frac {p+q}{2}\% ).$
由①②，可知这两种方案结果相同，
$a(1+\frac {p+q}{2}\% )(1+\frac {p+q}{2}\% )-a(1+p\% )(1+q\% )=a\cdot [1+p\% +q\% +\frac {(p\% )^{2}+2p\% \cdot q\% +(q\% )^{2}}{4}-1-q\% -p\% -p\% \cdot q\% ]=a\cdot [\frac {(p\% )^{2}+2p\% \cdot q\% +(q\% )^{2}}{4}-p\% \cdot q\% ]=a\cdot [\frac {(p\% )^{2}-2p\% \cdot q\% +(q\% )^{2}}{4}]=a\cdot \frac {(p\% -q\% )^{2}}{4}.$
$\because p≠q,$
$\therefore a\cdot \frac {(p\% -q\% )^{2}}{4}＞0.$
$\therefore$方案③提价最多.

【变式4】有两个正方形$A$，$B$，现将$B$放在$A$的内部得到图甲，将$A$，$B$并列放置后构造新的正方形得到图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为$1$和$12$.
（1）正方形$A$和正方形$B$的面积之和为______；
（2）三个正方形$A$和两个正方形$B$如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积.

答案： 解：
(1)13
(2)设正方形$A$的边长为$a$，正方形$B$的边长为$b$.
图丙阴影部分的面积为$S_{阴影}=(2a+b)^{2}-3a^{2}-2b^{2}=4a^{2}+4ab+b^{2}-3a^{2}-2b^{2}=a^{2}+4ab-b^{2}=(a+b)(a-b)+4ab.$图甲阴影部分的面积为$(a-b)^{2},$
$\therefore (a-b)^{2}=1$，即$a-b=1.$
图乙阴影部分的面积为$(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}=2ab,$
$\therefore 2ab=12.$
由
(1)，得$a^{2}+b^{2}=13.$
$\because (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}=13+12=25=5^{2},$
$\therefore a+b=5.$
$\therefore S_{阴影}=1×5+2×12=29.$