《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

1. 如图,点B,E,C,F在一条直线上,$AB=DE,AC=DF,BE=CF$.求证:$AC// DF$.

答案： 1.证明:$\because BE=CF,$
$\therefore BE+EC=CF+EC.$
$\therefore BC=EF.$
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中,$\left\{\begin{array}{l} AB=DE,\\ AC=DF,\\ BC=EF,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABC\cong \triangle DEF(SSS).$
$\therefore ∠ACB=∠DFE.$
$\therefore AC// DF.$

2. 如图,在$△ABC$中,$∠C=90^{\circ }.$
(1)过点B作$∠ABC$的平分线,交AC于点D;(尺规作图,保留作图痕迹)
(2)若$AB+BC=14,△ABC$的面积为21,求CD的长.

答案：
2.解:
(1)如图,BD 即为所求.

(2)如图,过点 D 作$DH⊥AB$于点 H.
$\because BD$平分$∠ABC,DC⊥BC,DH⊥AB,$
$\therefore CD=DH.$
$\therefore S_{\triangle ABC}=S_{\triangle BCD}+S_{\triangle ABD}=\frac {1}{2}BC\cdot CD+\frac {1}{2}AB\cdot DH=\frac {1}{2}(BC+AB)\cdot CD=21.$
$\because AB+BC=14,$
$\therefore CD=3.$

3. 如图,小卓同学用10块高度都是2 cm的相同长方体小木块,垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板$(AC=BC,∠ACB=90^{\circ })$,点C在DE上,点A和点B分别与木墙的顶端重合.
(1)求证:$△ADC\cong △CEB;$
(2)求两堵木墙之间的距离.

答案： 3.解:
(1)证明:根据题意,得$AC=BC,∠ACB=90^{\circ },AD⊥DE,BE⊥DE,$
$\therefore ∠ADC=∠CEB=90^{\circ }.$
$\therefore ∠ACD+∠BCE=90^{\circ },∠ACD+∠CAD=90^{\circ }.$
$\therefore ∠BCE=∠CAD.$
在$\triangle ADC$和$\triangle CEB$中,
$\left\{\begin{array}{l} ∠ADC=∠CEB,\\ ∠CAD=∠BCE,\\ AC=BC,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ADC\cong \triangle CEB(AAS).$
(2)根据题意,得$AD=2×4=8(cm),BE=6×2=12(cm),$
由
(1),得$\triangle ADC\cong \triangle CEB,$
$\therefore EC=AD=8cm,DC=BE=12cm.$
$\therefore DE=DC+CE=20cm.$
答:两堵木墙之间的距离为 20 cm.

4. 如图1,点P的坐标为$(2,2)$,点A在x轴正半轴上运动,点B在y轴负半轴上运动,且$PA=PB.$
(1)求证:$PA⊥PB;$
(2)若点A的坐标为$(8,0)$,则点B的坐标为________;
(3)$OA - OB$的值为________;
(4)如图2,若点B在y轴正半轴上,其他条件不变,求$OA + OB$的值.

答案：
4.解:
(1)证明:如图1,过点 P 作$PE⊥x$轴于点 E,作$PF⊥y$轴于点 F.
$\because P(2,2),$
$\therefore PE=PF=2.$
在$Rt\triangle APE$和$Rt\triangle BPF$中,$\left\{\begin{array}{l} PA=PB,\\ PE=PF,\end{array}\right.$
$\therefore Rt\triangle APE\cong Rt\triangle BPF(HL).$
$\therefore ∠APE=∠BPF.$
$\therefore ∠APB=∠APE+∠BPE=∠BPF+∠BPE=∠EPF=90^{\circ }.$
$\therefore PA⊥PB.$

(2)$(0,-4)$
(3)4
(4)如图2,过点 P 作$PE⊥x$轴于点 E,作$PF⊥y$轴于点 F.
同
(1),可得$Rt\triangle APE\cong Rt\triangle BPF,$
$\therefore AE=BF.$
$\because AE=OA - OE=OA - 2,BF=OF - OB=2 - OB,$
$\therefore OA - 2=2 - OB.$
$\therefore OA+OB=4.$