《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

【探究】如图，在$\triangle ABC$中，从点$B$出发，沿三角形的边到点$C$，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？

【探究】解：有两条线路可以选择。在从点B到点C的线路中，由点B先到点A再到点C的线路，比由点B直接到点C的线路长，即$BA + AC ＞ BC$。
【证明】由“两点之间，线段最短”可得：
$AB + AC$＞$BC$；①
$AB + BC$＞$AC$；②
$BC + AC$＞$AB$.③
由不等式①②③移项可得：
$AB$＞$BC - AC$；
$BC$＞$AC - AB$；
$AC$＞$AB - BC$.
结论：三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边.

答案： 【探究】解：有两条线路可以选择。在从点B到点C的线路中，由点B先到点A再到点C的线路，比由点B直接到点C的线路长，即$BA + AC ＞ BC$。
【证明】$＞ ＞ ＞ ＞ ＞ ＞ ＞$
结论：大于 小于

【例1】下列长度的三条线段不能构成三角形的是( )
A. $2$，$3$，$4$
B. $8$，$7$，$15$
C. $6$，$8$，$10$
D. $13$，$12$，$20$

答案： B

【变式1】下列长度的三条线段能组成一个三角形的是( )
A. $5$，$10$，$10$
B. $5$，$6$，$11$
C. $5$，$6$，$12$
D. $5$，$6$，$13$

答案： A

【例2】若三角形的三边长分别为$3$，$7$，$x$，则第三边长$x$的取值范围为$4\lt x\lt10$.

答案： $4\lt x\lt10$

【变式2】若三角形的两边长分别为$2\mathrm{c}\mathrm{m}$，$6\mathrm{c}\mathrm{m}$，且第三边长为奇数，则第三边的长为____.

答案： $5\mathrm{c}\mathrm{m}$或$7\mathrm{c}\mathrm{m}$

【例3】(1)已知等腰三角形的两边长分别为$8$和$3$，则它的周长为____；
(2)已知等腰三角形的两边长分别为$8$和$5$，则它的周长为____.

答案：
(1)$19$；
(2)$18$或$21$

【变式3】(1)已知等腰三角形的两边长分别为$3$和$6$，则它的周长为15；
(2)一个等腰三角形的周长为$18$，且它的一边长为$8$，则它另两边长分别为8，2或5，5.

答案：
(1)$15$；
(2)$8$，$2$或$5$，$5$

【例4】用一条长为$18\mathrm{c}\mathrm{m}$的细绳围成一个等腰三角形.
(1)若它的腰长是底边长的$2$倍，求它的各边长；
(2)能围成有一边长为$4\mathrm{c}\mathrm{m}$的等腰三角形吗？说明理由.

答案： 【解析】：
(1)设底边长为$x cm$，因为腰长是底边长的$2$倍，则腰长为$2x cm$。
根据等腰三角形周长等于三边之和，且细绳长$18cm$，可列方程：
$x + 2x+2x = 18$，
合并同类项得$5x = 18$，
解得$x=\frac{18}{5}=3.6$，
则腰长为$2x = 2\times3.6 = 7.2cm$。
所以各边长分别为$7.2cm$，$7.2cm$，$3.6cm$。
(2)分两种情况讨论：
①当$4cm$为底边长时，设腰长为$y cm$，则有$2y + 4 = 18$，
移项得$2y=18 - 4$，
即$2y = 14$，
解得$y = 7$。
此时三边长分别为$7cm$，$7cm$，$4cm$，
因为$7 + 4＞7$，$7+7 ＞ 4$，满足三角形任意两边之和大于第三边，所以能构成三角形。
②当$4cm$为腰长时，设底边长为$z cm$，则有$4 + 4+z = 18$，
移项得$z=18-(4 + 4)$，
即$z = 10$。
此时三边长分别为$4cm$，$4cm$，$10cm$，
因为$4+4 = 8＜10$，不满足三角形任意两边之和大于第三边，所以不能构成三角形。
综上，能围成底边长为$4cm$的等腰三角形。
【答案】：
(1)$7.2cm$，$7.2cm$，$3.6cm$；
(2)能，底边长为$4cm$，腰长为$7cm$。

【变式4】用一条长为$21\mathrm{c}\mathrm{m}$的细绳围成一个等腰三角形.
(1)若它的腰长是底边长的$3$倍，求它的各边长；
(2)能围成有一边长为$5\mathrm{c}\mathrm{m}$的等腰三角形吗？说明理由.

答案： 【解析】：
(1)设底边长为$x cm$，因为腰长是底边长的$3$倍，则腰长为$3x cm$。
根据等腰三角形周长等于三边之和，且细绳长$21cm$，可列方程：
$x + 3x+3x = 21$，
$7x = 21$，
解得$x = 3$。
则腰长为$3x=3\times3 = 9cm$。
所以各边长分别为$9cm$，$9cm$，$3cm$。
(2)分两种情况讨论：
①当$5cm$为底边长时，腰长$=(21 - 5)\div2=8cm$。
此时三边长分别为$8cm$，$8cm$，$5cm$。
因为$5 + 8＞8$，$8 + 8＞5$，满足三角形任意两边之和大于第三边，所以能构成三角形。
②当$5cm$为腰长时，底边长$=21 - 5\times2=21 - 10 = 11cm$。
此时三边长分别为$5cm$，$5cm$，$11cm$。
因为$5+5 = 10＜11$，不满足三角形任意两边之和大于第三边，所以不能构成三角形。
【答案】：
(1)$9cm$，$9cm$，$3cm$；
(2)能，当底边长为$5cm$时，腰长为$8cm$，可以围成等腰三角形；当腰长为$5cm$时，不能围成等腰三角形。