《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

【例3】如图，在四边形$ABCD$中，$AD = CD$，$AB = CB$，过点$C$作$CE// AD$，交$AB$于点$E$。求证：$\angle DCB=\angle CEB$。

答案：
证明:如图，连接BD.

在$△ADB$和$△CDB$中,
$\left\{\begin{array}{l} AD = CD,\\ AB = CB,\\ BD = BD,\end{array}\right.$
$\therefore △ADB\cong △CDB(SSS)$.
$\therefore ∠DAB = ∠DCB$.
$\because CE// AD$,
$\therefore ∠DAB = ∠CEB$.
$\therefore ∠DCB = ∠CEB$.

【变式3】(易错)如图，已知$AC = BD$，$AD = BC$。求证：$\angle A=\angle B$。

答案：
证明:如图，连接CD.

在$△ACD$和$△BDC$中,
$\left\{\begin{array}{l} AC = BD,\\ AD = BC,\\ CD = DC,\end{array}\right.$
$\therefore △ACD\cong △BDC(SSS)$.
$\therefore ∠A = ∠B$.

1. 如图，$AB = AC$，$AD = AE$，$BE = CD$。图中有几对全等的三角形，请选择其中一对证明。

答案： 解:共有两对全等三角形,分别是$△ABE\cong △ACD,△ABD\cong △ACE$.
在$△ABE$和$△ACD$中,$\left\{\begin{array}{l} AB = AC,\\ AE = AD,\\ BE = CD,\end{array}\right.$
$\therefore △ABE\cong △ACD(SSS)$.

2. (人教教材P38T2)工人师傅常用角尺平分一个任意角。如图，在$\angle AOB$的边$OA$，$OB$上分别取$OM = ON$，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点$M$，$N$重合。过角尺顶点$C$的射线$OC$便是$\angle AOB$的平分线。为什么？

答案： 解:在$△OMC$和$△ONC$中,
$\left\{\begin{array}{l} OM = ON,\\ OC = OC,\\ CM = CN,\end{array}\right.$
$\therefore △OMC\cong △ONC(SSS)$.
$\therefore ∠COM = ∠CON$,
即射线OC是$∠AOB$的平分线.

3. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，点$D$，$E$分别为边$AC$，$BC$上的一点，连接$BD$，$DE$。已知$AB = BE$，$AD = DE$。
(1)求证：$BD$平分$\angle ABC$；
(2)若$\angle CDE = 20^{\circ}$，求$\angle A$的度数。

答案： 解:
(1)证明:在$△ABD$和$△EBD$中,
$\left\{\begin{array}{l} AB = BE,\\ AD = DE,\\ BD = BD,\end{array}\right.$
$\therefore △ABD\cong △EBD(SSS)$.
$\therefore ∠ABD = ∠EBD$,
即BD平分$∠ABC$.
(2)由
(1),得$△ABD\cong △EBD$,
$\therefore ∠ABD = ∠EBD,∠ADB = ∠EDB$.
$\because ∠ABC = 90^{\circ},∠CDE = 20^{\circ}$,
$\therefore ∠ABD = 45^{\circ},∠ADB = \frac{1}{2}(180^{\circ} - ∠CDE) = 80^{\circ}$.
$\therefore ∠A = 180^{\circ} - ∠ABD - ∠ADB = 55^{\circ}$.