《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

1. 下列计算正确的是 (C)
A. $(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}$
B. $(x-y)^{2}=x^{2}-2xy-y^{2}$
C. $(x+1)(x-1)=x^{2}-1$
D. $(x-1)^{2}=x^{2}-1$

答案： 1. C

2. 根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$，则根据图乙，我们可以得到下列哪个公式 (C)
A. $a^{2}-b^{2}=(a-b)^{2}$
B. $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
C. $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
D. $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

答案： 2. C

3. 运用完全平方公式计算：
(1)$(y-5)^{2}$； (2)$(-3a+2b)^{2}$； (3)$(\frac{3}{4}x-\frac{2}{3}y)^{2}$.

答案： 3. 解：
(1)原式$=y^{2}-2\cdot y\cdot5 + 5^{2}$
$=y^{2}-10y + 25$．
(2)原式$=(-3a)^{2}+2\cdot(-3a)\cdot(2b)+(2b)^{2}$
$=9a^{2}-12ab + 4b^{2}$．
(3)原式$=(\frac{3}{4}x)^{2}-2\cdot(\frac{3}{4}x)\cdot(\frac{2}{3}y)+(\frac{2}{3}y)^{2}$
$=\frac{9}{16}x^{2}-xy + \frac{4}{9}y^{2}$．

4. 运用完全平方公式计算：
(1)$(2a+5b)^{2}$； (2)$(100-2)^{2}$； (3)$(-2m-1)^{2}$.

答案： 4. 解：
(1)原式$=(2a)^{2}+2\cdot(2a)\cdot(5b)+(5b)^{2}$
$=4a^{2}+20ab + 25b^{2}$．
(2)原式$=100^{2}-2×100×2 + 2^{2}$
$=10000 - 400 + 4$
$=9604$．
(3)原式$=(-2m)^{2}-2\cdot(-2m)\cdot1 + 1^{2}$
$=4m^{2}+4m + 1$．

5. 计算：
(1)$(a+1)^{2}+(a-1)(a-2)$； (2)$4(x+1)^{2}-(2x+5)(2x-5)$.

答案： 5. 解：
(1)原式$=a^{2}+2a + 1 + a^{2}-3a + 2$
$=2a^{2}-a + 3$．
(2)原式$=4(x^{2}+2x + 1)-(4x^{2}-25)$
$=4x^{2}+8x + 4 - 4x^{2}+25$
$=8x + 29$．

6. 请观察下列各式的规律，回答问题：
等式①：$16^{2}=1×2×100+(1+1)×10+6^{2}$；
等式②：$26^{2}=2×3×100+(2+2)×10+6^{2}$；
等式③：$36^{2}=3×4×100+(3+3)×10+6^{2}$；
…
(1)请根据上述规律写出等式④：$46^{2}=4×5×100+(4 + 4)×10 + 6^{2}$；
等式⑩：$106^{2}=10×11×100+(10 + 10)×10 + 6^{2}$；
(2)请写出第n个式子，并给予证明.
(2)第$n$个式子为$(10n + 6)^{2}=n(n + 1)×100+(n + n)×10 + 6^{2}$．
证明如下：等式左边$=(10n)^{2}+2×10n×6 + 6^{2}=100n^{2}+120n + 36$，
等式右边$=100n^{2}+100n + 20n + 36=100n^{2}+120n + 36$．
$\therefore$等式左边$=$等式右边．

答案： 6. 解：
(1)$46^{2}=4×5×100+(4 + 4)×10 + 6^{2}$ $106^{2}=10×11×100+(10 + 10)×10 + 6^{2}$
(2)第$n$个式子为$(10n + 6)^{2}=n(n + 1)×100+(n + n)×10 + 6^{2}$．
证明如下：等式左边$=(10n)^{2}+2×10n×6 + 6^{2}=100n^{2}+120n + 36$，
等式右边$=100n^{2}+100n + 20n + 36=100n^{2}+120n + 36$．
$\therefore$等式左边$=$等式右边．