《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

8.（综合与实践）用全等三角形研究“筝形”。
如图，在四边形$ABCD$中，$AB = AD$，$BC = DC$。我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”。
【初步探索】（1）分别在$AB$，$AD$的中点$E$，$F$处拉两根彩线$EC$，$FC$，求证：这两根彩线的长度相等；

【再次尝试】（2）如果$AE = \frac{1}{4}AB$，$AF = \frac{1}{4}AD$，那么这两根彩线的长度相等吗？
【得出结论】（3）当______________时，彩线$EC$，$FC$长度相等；
【拓展应用】（4）如果连接$BD$，$AC$，那么四边形的对角线$BD$与$AC$有什么关系？若$BD = 6$，$AC = 10$，能否求出四边形$ABCD$的面积？

答案：
解:
(1)证明:如图1,连接AC.

在△ABC和△ADC中,
$\left\{\begin{array}{l} AB=AD,\\ BC=DC,\\ AC=AC,\end{array}\right. $
∴△ABC≌△ADC(SSS).
∴∠1=∠2.
∵点E,F分别是AB,AD的中点,
∴AE=$\frac{1}{2}$AB,AF=$\frac{1}{2}$AD.
∵AB=AD,
∴AE=AF.
在△AEC和△AFC中,
$\left\{\begin{array}{l} AE=AF,\\ ∠1=∠2,\\ AC=AC,\end{array}\right. $
∴△AEC≌△AFC(SAS).
∴EC=FC,即这两根彩线的长度相等.
(2)当AE=$\frac{1}{4}$AB,AF=$\frac{1}{4}$AD时,这两根彩线的长度相等.理由如下:
连接AC.
由
(1),得∠1=∠2.
∵AE=$\frac{1}{4}$AB,AF=$\frac{1}{4}$AD,AB=AD,
∴AE=AF.
在△AEC和△AFC中,
$\left\{\begin{array}{l} AE=AF,\\ ∠1=∠2,\\ AC=AC,\end{array}\right. $
∴△AEC≌△AFC(SAS).
∴EC=FC.
∴这两根彩线的长度相等.
(3)AE=$\frac{1}{n}$AB,AF=$\frac{1}{n}$AD
(4)BD⊥AC.理由如下:
如图2,BD与AC交于点O.

由
(1),得∠1=∠2.
在△ABO和△ADO中,$\left\{\begin{array}{l} AB=AD,\\ ∠1=∠2,\\ AO=AO,\end{array}\right. $
∴△ABO≌△ADO(SAS).
∴∠BOA=∠DOA.
∵∠BOA+∠DOA=180°,
∴∠BOA=90°,即AC⊥BD.
∵BD=6,AC=10,
∴“筝形”ABCD的面积为$\frac{1}{2}$BD·AC=$\frac{1}{2}$×6×10=30.
∴四边形ABCD的面积为30.