《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

【例3】(人教教材P93T13)如图,$△ABC$是等腰三角形,$AC=BC,△BCD$和$△ACE$是等边三角形,AE与BD相交于点F,连接CF并延长,交AB于点G.求证:G为AB的中点.

答案： 证明:
∵AC = BC，
∴∠CAB = ∠CBA.
∵△ACE和△BCD均为等边三角形，
∴∠CAE = ∠CBD = 60°.
∴∠FAG = ∠FBG.
∴AF = BF.
在△CFA和△CFB中，
{AF = BF,
AC = BC,
CF = CF,
∴△CFA≌△CFB(SSS).
∴∠ACF = ∠BCF.
∴AG = BG.
∴G为AB的中点.

【变式3】在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且$AE=BD$.
(1)当点E是AB的中点时,如图1,求证:$EC=ED;$
(2)当点E不是AB的中点时,如图2,过点E作$EF// BC$,求证:$△AEF$是等边三角形;
(3)在第(2)小题的条件下,EC与ED还相等吗? 请说明理由.

答案： 解:
(1)证明:
∵△ABC是等边三角形，
∴AB = BC = AC，∠ABC = ∠ACB = ∠A = 60°.
∵点E是AB的中点，
∴AE = BE.
∵AE = BD，
∴BE = BD.
∴∠ECB = $\frac{1}{2}$∠ACB = 30°，
∠EDB = ∠DEB = $\frac{1}{2}$∠ABC = 30°.
∴∠EDB = ∠ECB.
∴EC = ED.
(2)证明:
∵EF//BC，
∴∠AEF = ∠ABC = 60°，
∠AFE = ∠C = 60°.
∴∠AEF = ∠AFE = ∠A.
∴△AEF是等边三角形.
(3)EC = ED.理由如下:
∵∠AFE = ∠ABC = 60°，
∴∠EFC = ∠DBE = 120°.
∵AB = AC，AE = AF，
∴AB - AE = AC - AF，即BE = FC.又
∵AE = BD，
∴EF = DB.
在△EFC和△DBE中，
{EF = DB,
∠EFC = ∠DBE,
FC = BE,
∴△EFC≌△DBE(SAS).
∴EC = ED.

【例4】如图,在等腰三角形ABC中,$AB=AC$,点D为$△ABC$内的一点,点E为$△ABC$外的一点.
(1)当点B,D,E不共线时,如图1,若$AD=AE,∠BAC=∠DAE$,求证:$△ABD\cong △ACE;$
(2)当点B,D,E在同一直线上时:
①如图2,若$△ABC$与$△ADE$均为等边三角形,则$∠BEC$的度数为60°;
②如图3,若$△ABC$与$△ADE$均为等腰直角三角形,$AD=AE,AF⊥BE$于点F,$AF=3,CE=8$,求BE的长.解:∵△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，AD = AE，∴∠ADE = 45°.由(1)，得△ABD≌△ACE.∴DB = EC = 8.∵AF⊥BE，∴△ADF为等腰直角三角形.∴DF = EF = AF = 3.∴BE = BD + DF + EF = 8 + 3 + 3 = 14.

答案： 解:
(1)证明:
∵∠BAC = ∠DAE，
∴∠BAC - ∠CAD = ∠DAE - ∠CAD.
∴∠BAD = ∠CAE.
在△ABD和△ACE中，
{AB = AC,
∠BAD = ∠CAE,
AD = AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
(2)①60°
②
∵△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，AD = AE，
∴∠ADE = 45°.
由
(1)，得△ABD≌△ACE.
∴DB = EC = 8.
∵AF⊥BE，
∴△ADF为等腰直角三角形.
∴DF = EF = AF = 3.
∴BE = BD + DF + EF = 8 + 3 + 3 = 14.