《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

【例3】如图，$\triangle ABC \cong \triangle ADE$. 求证：$\angle CAE = \angle BAD$.

答案： 证明: $∵△ABC≌△ADE$，$∴∠1 = ∠2$．$∴∠1 + ∠BAE = ∠2 + ∠BAE$，即$∠CAE = ∠BAD$．

【变式3】(人教教材P31T5改编)如图，$\triangle ABC \cong \triangle ADE$. 求证：
(1)$\angle 1 = \angle 2$；
(2)$\angle 1 = \angle 3$.

答案： 证明:
(1) $∵△ABC≌△ADE$，$∴∠BAC = ∠DAE$．$∴∠BAC - ∠CAD = ∠DAE - ∠CAD$．$∴∠1 = ∠2$．
(2)设AD与BC交于点F．$∵△ABC≌△ADE$，$∴∠B = ∠D$．
$∵∠1 + ∠B + ∠AFB = 180°$，$∠3 + ∠D + ∠CFD = 180°$，$∠AFB = ∠CFD$，$∴∠1 = ∠3$．

1. 如图，$\triangle ABC \cong \triangle DEC$，$B$，$C$，$D$三点在同一直线上，若$CE = 6$，$AC = 9$，则$BD$的长为15.

答案： 15

2. (人教教材P31T3改编)已知图中的两个三角形全等，则$\angle \alpha =$$72°$.

答案： $72°$

3. (人教教材P31T2改编)如图，$\triangle ABN \cong \triangle ACM$，$\angle B$和$\angle C$是对应角，$AB$和$AC$是对应边，则其他对应边为：BN和CM，AN和AM，其他对应角为：∠ANB和∠AMC，∠BAN和∠CAM.

答案： BN和CM，AN和AM
$∠ANB$和$∠AMC$，$∠BAN$和$∠CAM$

4. (人教教材P30例题改编)如图，$\triangle ABC \cong \triangle BAD$，点$A$和点$B$，点$C$和点$D$是对应顶点，$\angle BAC = 65^{\circ}$，$\angle ABC = 30^{\circ}$，$AC$，$BD$的延长线相交于点$E$，求$\angle CBD$，$\angle AEB$的度数.

答案： 解: $∵△ABC≌△BAD$，$∴∠ABD = ∠BAC = 65°$，$∠BAD = ∠ABC = 30°$．
$∴∠CBD = ∠ABD - ∠ABC = 65° - 30° = 35°$．
又$∵△ABE$的内角和为180°，$∴∠AEB = 180° - ∠BAC - ∠ABD = 180° - 65° - 65° = 50°$．

5. (中考热点·证明两线垂直)如图，$\triangle ABD \cong \triangle EBC$，$AB = 4\ \text{cm}$，$BC = 7\ \text{cm}$.
(1)求$DE$的长；
(2)判断直线$AD$与直线$CE$的位置关系，并说明理由.

答案：
解:
(1) $∵△ABD≌△EBC$，$AB = 4cm$，$BC = 7cm$，$∴BD = BC = 7cm$，$AB = EB = 4cm$．$∴DE = BD - BE = 3cm$．
(2) $AD⊥CE$．理由如下:
如图，延长CE交AD于点F．

$∵△ABD≌△EBC$，$∴∠D = ∠C$，$∠ABD = ∠EBC$．
$∴∠ABD + ∠EBC = 180°$．
$∴∠ABD = 90°$．
$∴∠A + ∠D = 90°$．
$∴∠A + ∠C = 90°$．
$∴∠AFC = 90°$．
$∴CE⊥AD$．