《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

【文化背景】在我国南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算法》(1261年)一书中,用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律.杨辉在注释中提到,在他之前北宋数学家贾宪(约11世纪上半叶)发明了上述方法,因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”.
(人教教材P118“阅读与思考”改编)“杨辉三角”两腰上的数都是1,其余每个数为它的上方(左右)两数之和,它给出了$(a + b)^n$(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序)的系数规律.根据描述及图示完成第1-6题:

探究1 规律探究
1. “杨辉三角”第7排左起第4个数是 ( )
A. 6
B. 10
C. 15
D. 20
2. 观察这些系数的规律,请直接写出$(a + b)^5=$.
3. 观察这些系数的规律,$(a + b)^7$的展开式中,$a^5b^2$的系数是.
探究2 应用规律解决问题
4. 利用上面的规律计算:
(1)$99^3 + 3×99^2 + 3×99 + 1$;
(2)$3^4 - 4×3^3 + 6×3^2 - 4×3 + 1$.
5. 若今天是星期四,经过$8^6$天后是星期几?

答案： 1. D2. $ a ^ { 5 } + 5 a ^ { 4 } b + 10 a ^ { 3 } b ^ { 2 } + 10 a ^ { 2 } b ^ { 3 } + 5 a b ^ { 4 } + b ^ { 5 } $3. 214. 解：
(1) 原式 $ = ( 99 + 1 ) ^ { 3 } $$ = 100 ^ { 3 } $$ = 1 000 000 $
(2) 原式 $ = ( 3 - 1 ) ^ { 4 } $$ = 2 ^ { 4 } $$ = 16 $5. 解：$ 8 ^ { 6 } = ( 7 + 1 ) ^ { 6 } = 7 ^ { 6 } + a \times 7 ^ { 5 } + b \times 7 ^ { 4 } + c \times 7 ^ { 3 } + d \times 7 ^ { 2 } + e \times 7 ^ { 1 } + 1 $，其中 $ a $，$ b $，$ c $，$ d $，$ e $ 为各项的系数。$ \because 7 ^ { 6 } + a \times 7 ^ { 5 } + b \times 7 ^ { 4 } + c \times 7 ^ { 3 } + d \times 7 ^ { 2 } + e \times 7 ^ { 1 } $ 都能被 7 整除，$ \therefore 8 ^ { 6 } $ 除以 7 余 1。$ \therefore $ 如果今天是星期四，经过 $ 8 ^ { 6 } $ 天后是星期五。