《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

一、预习导学
【思考】多项式$a^{2}-b^{2}$有什么特点？你能将它分解因式吗？
【分析】这个多项式是两个数的平方差的形式.由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形,把整式乘法的平方差公式$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$的等号两边互换,就得到$a^{2}-b^{2}=$($a + b$)($a - b$).即两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.如:$x^{2}-4=x^{2}-2^{2}=$($x + 2$)($x - 2$),$25-m^{2}=5^{2}-m^{2}=$($5 + m$)($5 - m$).

答案： $a + b$ $a - b$ 和 差
$x + 2$ $x - 2$ $5 + m$ $5 - m$

【例1】(人教教材P128例1)分解因式:
(1)$4x^{2}-9;$ (2)$a^{2}-25b^{2}.$

答案： 解：
(1)原式$=(2x)^{2}-3^{2}$
$=(2x + 3)(2x - 3)$
(2)原式$=a^{2}-(5b)^{2}$
$=(a + 5b)(a - 5b)$

【变式1】(人教教材P129T2节选)分解因式:
(1)$49n^{2}-1;$ (2)$a^{2}-\frac {1}{25}b^{2}.$

答案： 解：
(1)原式$=(7n)^{2}-1^{2}$
$=(7n + 1)(7n - 1)$
(2)原式$=a^{2}-(\frac{1}{5}b)^{2}$
$=(a + \frac{1}{5}b)(a - \frac{1}{5}b)$

【例2】分解因式:
(1)$4x^{2}-y^{2}z^{2};$ (2)$-16x^{2}+1.$

答案： 解：
(1)原式$=(2x)^{2}-(yz)^{2}$
$=(2x + yz)(2x - yz)$
(2)原式$=1^{2}-(4x)^{2}$
$=(1 + 4x)(1 - 4x)$

【变式2】分解因式:
(1)$x^{2}y^{2}-36;$ (2)$-x^{2}+9y^{2}.$

答案： 解：
(1)原式$=(xy)^{2}-6^{2}$
$=(xy + 6)(xy - 6)$
(2)原式$=(3y)^{2}-x^{2}$
$=(3y + x)(3y - x)$

【例3】分解因式:
(1)$(x+p)^{2}-(x+q)^{2};$
(2)$9x^{2}-(x-3y)^{2}.$

答案： 解：
(1)原式$=[(x + p)+(x + q)]\cdot[(x + p)-(x + q)]$
$=(2x + p + q)(p - q)$
(2)原式$=[3x+(x - 3y)][3x-(x - 3y)]$
$=(4x - 3y)(2x + 3y)$

【变式3】(人教教材P129T2节选)分解因式:
(1)$4b^{2}-(b+c)^{2};$
(2)$(m+2n)^{2}-(m-2n)^{2}.$

答案： 解：
(1)原式$=[2b+(b + c)][2b-(b + c)]$
$=(3b + c)(b - c)$
(2)原式$=[(m + 2n)+(m - 2n)][(m + 2n)-(m - 2n)]$
$=2m×4n$
$=8mn$