《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

【变式5】(人教教材P17T10改编)如图，$AD // BE$，$AC$，$BC$分别平分$\angle DAB$和$\angle EBA$，试判断$\triangle ABC$的形状，并说明理由.

答案： 解:△ABC是直角三角形。
理由如下:
∵AD//BE,
∴∠DAB + ∠ABE = 180°。
∵AC, BC分别平分∠DAB和∠EBA,
∴∠CAB = $\frac{1}{2}$∠DAB,∠ABC = $\frac{1}{2}$∠ABE。
∴∠CAB + ∠ABC = $\frac{1}{2}$(∠DAB + ∠ABE) = 90°。
∴∠C = 90°。
∴△ABC是直角三角形。

1. 把一把直尺与一块三角板按如图所示的方式放置，若$\angle 1 = 50^{\circ}$，则$\angle 2$的度数为40°.

答案： 40°

2. 如图，$AD$是$Rt\triangle ABC$的斜边$BC$上的高，则图中与$\angle B$互余的角有(B)
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： B

3. 如图，已知$\angle AON = 40^{\circ}$，$OA = 6$，点$P$是射线$ON$上的一动点. 当$\triangle AOP$为直角三角形时，$\angle A$的度数为50°或90°.

答案： 50°或90°

4. 如图，在$\triangle ABC$中，$AD$是边$BC$上的高线，$CE$是$\triangle ABC$的角平分线，它们相交于点$P$，已知$\angle APE = 55^{\circ}$，$\angle AEP = 80^{\circ}$，求$\angle BAC$的度数.

答案： 解:
∵AD⊥BC,
∴∠PDC = 90°。
∵∠CPD = ∠APE = 55°,
∴∠PCD = 90° - 55° = 35°。
∵CE是△ABC的角平分线,
∴∠ACE = ∠PCD = 35°。
∴∠BAC = 180° - 35° - 80° = 65°。

5. (中考热点·转化思想)如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD$为边$AB$上的高，$BE$平分$\angle ABC$，分别交$CD$，$AC$于点$F$，$E$. 求证：$\angle CFE = \angle CEF$.

答案：
证明:如图,
∵∠ACB = 90°,

∴∠1 + ∠3 = 90°。
∵CD⊥AB,
∴∠2 + ∠4 = 90°。
又
∵BE平分∠ABC,
∴∠1 = ∠2。
∴∠3 = ∠4。
∵∠4 = ∠5,
∴∠3 = ∠5,即∠CFE = ∠CEF。