《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

|互逆命题|题设和结论正好相反的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.|
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|互逆定理|如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理.|

答案： 相反　逆命题

【例4】(人教教材P67T3改编)写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立.
(1)两直线平行，同位角相等；
(2)对顶角相等.

答案： 解：
(1) 逆命题为：同位角相等，两直线平行.此逆命题成立.
(2) 逆命题为：相等的角是对顶角.此逆命题不成立.

【变式4】下列命题的逆命题成立的是 ( )
A. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等
B. 全等三角形的对应角相等
C. 全等三角形的对应边相等
D. 邻补角互补

答案： C

1. 如图，直线PO与AB交于点O，PA=PB，则下列结论中正确的是 (D)
A. AO=BO
B. PO⊥AB
C. PO是AB的垂直平分线
D. 点P在AB的垂直平分线上

答案： D

2. 如图，直线AD是线段BC的垂直平分线. 求证：∠ADB=∠ADC.

答案：
解：如图，设直线 $AD$ 与 $BC$ 交于点 $E$.

$\because AD$ 是线段 $BC$ 的垂直平分线，
$\therefore BD = CD$，$\angle AEB = \angle AEC = 90^{\circ}$.
在 $Rt\triangle DBE$ 和 $Rt\triangle DCE$ 中，
$\begin{cases}BD = CD\\DE = DE\end{cases}$
$\therefore Rt\triangle DBE \cong Rt\triangle DCE(HL)$.
$\therefore \angle BDE = \angle CDE$.
$\therefore \angle ADB = \angle ADC$.

3. (人教教材P93T10)如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高. 求证：AD垂直平分EF.

答案：
证明：如图，设 $AD$ 与 $EF$ 的交点为 $K$.

$\because AD$ 平分 $\angle BAC$，$DE \perp AB$，$DF \perp AC$，
$\therefore DE = DF$，$\angle AED = \angle AFD = 90^{\circ}$.
在 $Rt\triangle ADE$ 和 $Rt\triangle ADF$ 中，
$\begin{cases}AD = AD\\DE = DF\end{cases}$
$\therefore Rt\triangle ADE \cong Rt\triangle ADF(HL)$.
$\therefore AE = AF$.
$\because AD$ 是 $\triangle ABC$ 的角平分线，
$\therefore \angle EAK = \angle FAK$.
又 $\because AK = AK$，
$\therefore \triangle AEK \cong \triangle AFK$.
$\therefore \angle AKE = \angle AKF = 90^{\circ}$，$EK = KF$.
$\therefore AD$ 垂直平分 $EF$.

4. (人教教材P71T13)如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P.
(1)求证：PA=PB=PC；
(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？

答案： 解：
(1) 证明：$\because$ 边 $AB$，$BC$ 的垂直平分线交于点 $P$，
$\therefore PA = PB$，$PB = PC$.
$\therefore PA = PB = PC$.
(2) $\because PA = PC$，
$\therefore$ 点 $P$ 在边 $AC$ 的垂直平分线上.
还可得出结论：① 三角形三边的垂直平分线相交于一点；② 这个点与三个顶点的距离相等.