《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

【例4】(人教教材P138“思考”改编)列式表示下列各量。
(1)长方形的面积为S，长为a，则宽为$\frac{S}{a}$；
(2)在越野滑雪比赛中，若一名滑雪运动员在平地滑行a km用时b h，则他的平均速度为$\frac{a}{b}$km/h；若他在上坡滑行a km比在平地滑行同样的距离多用c h，则他的平均速度为$\frac{a}{b + c}$km/h。

答案： 【例4】
(1)$ \frac{S}{a} $
(2)$ \frac{a}{b} $ $ \frac{a}{b + c} $

【变式4】列式表示下列各量。
(1)某村有n个人，耕地40$km^{2}$，则人均耕地面积为____$km^{2}$；
(2)$\triangle ABC$的面积为S，边BC的长为a，则高AD的长为____；
(3)在一次考试中，某班有m人得80分，有n人得100分，那么两部分人合在一起的平均分是____分。

答案： 【变式4】
(1)$ \frac{40}{n} $
(2)$ \frac{2S}{a} $
(3)$ \frac{80m + 100n}{m + n} $

1. 如图，陈老师在黑板上写了四个代数式，其中是分式的有 (B)
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： 1. B

2. 填空：(1)当x≠ y时，分式$\frac{x + y}{x - y}$有意义；
(2)当x= -3时，分式$\frac{2x + 6}{x - 2}$的值为0；
(3)当x= ± 6时，分式$\frac{1}{x^{2} - 36}$无意义。

答案： 2.
(1)$ \neq y $
(2)$ = -3 $
(3)$ = \pm 6 $

3. (易错)当a为任意实数时，下列分式中一定有意义的是 (D)
A. $\frac{a + 2}{a^{2}}$
B. $\frac{a^{2} - 2}{a + 2}$
C. $\frac{a - 2}{a + 2}$
D. $\frac{a + 2}{a^{2} + 2}$

答案： 3. D

4. (开放性问题)已知四张卡片上面分别写有3，$x - y$，$x^{2} - 1$，$\pi + 1$，从中任选两张卡片，组成一个分式为$\frac{3}{x - y}$。(写出一个即可)

答案： 4. (答案不唯一)$ \frac{3}{x - y} $

5. 我们知道往一杯糖水中再加入一点糖，糖水就变得更甜了，将a g糖放入水中，得到b g糖水，此时糖水的含糖量即为$\frac{a}{b}(a ＜ b)$，再往杯中加入c$(c ＞ 0)$g糖，此时糖水的含糖量可表示为$\frac{a + c}{b + c}$。

答案： 5. $ \frac{a + c}{b + c} $

6. (中考热点·分类讨论)如果分式的值为正数，那么我们需要对其进行分类讨论：若$\frac{A}{B} ＞ 0$，则$\begin{cases}A ＞ 0,\\B ＞ 0\end{cases}$或$\begin{cases}A ＜ 0,\\B ＜ 0.\end{cases}$
(1)当x满足$ x ＞ \frac{2}{3} $时，分式$\frac{3x - 2}{x^{2} + 1}$的值为正数；
(2)若分式$\frac{2x - 3}{x + 5}$的值为负数，求x的取值范围。
(2)分式 $ \frac{2x - 3}{x + 5} $ 的值为负数，则：
① $ \begin{cases} 2x - 3 ＞ 0, \\ x + 5 ＜ 0, \end{cases} $ ② $ \begin{cases} 2x - 3 ＜ 0, \\ x + 5 ＞ 0. \end{cases} $
解不等式组①，得该不等式组无解；
解不等式组②，得 $ -5 ＜ x ＜ \frac{3}{2} $。
$ \therefore x $ 的取值范围是 $ -5 ＜ x ＜ \frac{3}{2} $。

答案： 6. 解：
(1)$ x ＞ \frac{2}{3} $
(2)分式 $ \frac{2x - 3}{x + 5} $ 的值为负数，则：
① $ \begin{cases} 2x - 3 ＞ 0, \\ x + 5 ＜ 0, \end{cases} $ ② $ \begin{cases} 2x - 3 ＜ 0, \\ x + 5 ＞ 0. \end{cases} $
解不等式组①，得该不等式组无解；
解不等式组②，得 $ -5 ＜ x ＜ \frac{3}{2} $。
$ \therefore x $ 的取值范围是 $ -5 ＜ x ＜ \frac{3}{2} $。