《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

$x^{2}+(p+q)x+pq$型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子进行因式分解呢？我们发现，$(x+p)(x+q)=x^{2}+(p+q)x+pq$。这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出：$(x+p)(x+q)=x^{2}+px+qx+pq=x^{2}+(p+q)x+pq$。
因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得
$x^{2}+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$。（*）
利用（*）式可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。例如，将式子$x^{2}+3x+2$分解因式。这个式子的二次项系数是1，常数项$2=1×2$，一次项系数$3=1+2$，因此这是一个$x^{2}+(p+q)x+pq$型的式子。利用（*）式可得$x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2)$。
上述分解因式$x^{2}+3x+2$的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）。

这样，我们也可以得到$x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2)$。
【尝试】利用这种方法，你能把下列多项式分解因式吗？
（1）$x^{2}+7x+10$；（2）$x^{2}-2x-8$；
（3）$y^{2}-7y+12$；（4）$x^{2}+7x-18$。
【拓展】类似这种方法，请对下列二次项系数不为1的多项式分解因式。
（5）$2x^{2}+9x+7$；（6）$3x^{2}-8x+4$。

答案：
(1)原式$=(x+5)(x+2)$．
(2)原式$=(x-4)(x+2)$．
(3)原式$=(y-3)(y-4)$．
(4)原式$=(x-2)(x+9)$．
(5)原式$=(2x+7)(x+1)$．
(6)原式$=(3x-2)(x-2)$．