《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

一、预习导学
整式的乘法：$x(x + 2) = x^{2} + 2x$，$(a + 3)(a - 3) = a^{2} - 9$，$(x + 1)^{2} = x^{2} + 2x + 1$。
反过来：$x^{2} + 2x =$$x(x + 2)$，$a^{2} - 9 =$$(a + 3)(a - 3)$，$x^{2} + 2x + 1 =$$(x + 1)^2$。
上面我们把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
注意：因式分解与整式乘法是方向相反的变形。

答案： $x(x + 2)$ $(a + 3)(a - 3)$ $(x + 1)^2$
多项式 整式 乘积 相反

【例1】下列式子是因式分解的是(B)
A. $x(x - 2) = x^{2} - 2x$
B. $x^{2} - 2x = x(x - 2)$
C. $x + 2 = x(1 + \frac{2}{x})$
D. $x(1 + \frac{2}{x}) = x + 2$

答案： B

【变式1】下列等式从左到右的变式是因式分解的是(D)
A. $6a^{3}b = 3a^{2} \cdot 2ab$
B. $(x + 2)(x - 2) = x^{2} - 4$
C. $2x^{2} + 4x - 3 = 2x(x + 2) - 3$
D. $ax - ay = a(x - y)$

答案： D

(1)观察多项式$pa + pb + pc$，它的各项都有一个公共的因式$p$，我们把因式$p$叫作这个多项式各项的公因式。对多项式$pa + pb + pc$分解因式为$pa + pb + pc =$$p(a + b + c)$。
(2)一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法。

答案：
(1)公因式 $p(a + b + c)$
(2)公因式 公因式 乘积

【例2】分解因式：
(1)$ax - ay$；
(2)$mx^{2} + my^{2}$；
(3)$3x^{2} - 4xy^{2} + x$；
(4)$-a^{2} + 2a$。

答案： 解:
(1)原式$=a(x - y)$.
(2)原式$=m(x^2 + y^2)$.
(3)原式$=x(3x - 4y^2 + 1)$.
(4)原式$=-a(a - 2)$.

【变式2】分解因式：
(1)$a^{2} - 2a$；
(2)$ab^{2} + b$；
(3)$xy - y^{2} + yz$；
(4)$-mx - my$。

答案： 解:
(1)原式$=a(a - 2)$.
(2)原式$=b(ab + 1)$.
(3)原式$=y(x - y + z)$.
(4)原式$=-m(x + y)$.

【例3】利用因式分解计算：$1.99^{2} + 1.99 \times 0.01$。

答案： 解:原式$=1.99×(1.99 + 0.01)$
$=1.99×2$
$=3.98$.

【变式3】利用因式分解计算：$49 \times 20.22 + 52 \times 20.22 - 20.22$。

答案： 解:原式$=20.22×(49 + 52 - 1)$
$=20.22×100$
$=2022$.