《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

【例1】(人教教材P85T8)某中学的同学们设计了下面的方法检测教室的房梁是否水平:在等腰直角三角尺斜边的中点拴一条线绳,线绳的另一端挂一个铅锤,把这块三角尺的斜边贴在房梁上,如果线绳经过三角尺的直角顶点,那么可以确定房梁是水平的.他们的方法对吗? 为什么?

答案： 解:他们的方法是对的.
理由如下:
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC.
∵点O是AB的中点，
∴AO=BO.
∴OC⊥AB.

【变式1】(人教教材P85T9)上午8时,一条船从海岛A出发,以15n mile/h的速度向正北航行,10时到达海岛B处.从A,B望灯塔C,测得$∠NAC=42^{\circ },∠NBC=84^{\circ }$.求从海岛B到灯塔C的距离.

答案： 解:
∵∠NBC = 84°，∠NAC = 42°，
∴∠C = 84° - 42° = 42°.
∴∠C = ∠NAC.
∴BC = AB.
∵上午8时，一条船从海岛A出发，以15 n mile/h的速度向正北航行，10时到达海岛B处，
∴BC = AB = 15×2 = 30(n mile).
答:从海岛B到灯塔C的距离为30 n mile.

【例2】(人教教材P91T3)如图,D,E分别是AB,AC的中点,$CD⊥AB$,垂足为D,$BE⊥AC$,垂足为E.求证:$AC=AB$.

答案：
证明:如图，连接BC.

∵点D是AB的中点，且CD⊥AB于点D，
∴CD是线段AB的垂直平分线.
∴AC = BC.
同理，可得AB = BC.
∴AC = AB.

【变式2】如图,在$△ABD$中,$∠ABD=∠ADB$.
(1)作点A关于BD的对称点C;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)所作的图中,连接BC,DC,连接AC交BD于点O.
①求证:$∠ABC=∠ADC;$
②若$∠BAD=30^{\circ },AB=4$,求$△ABD$的面积.

答案：
解:
(1)如图，点C即为所求.

(2)①证明:如图，
∵∠ABD = ∠ADB，
∴AB = AD.
∵点A，C关于BD对称，
∴BA = BC，DA = DC.
∴AB = BC = CD = AD.
在△ABC和△ADC中，
{AB = AD,
AC = AC,
BC = DC,
∴△ABC≌△ADC(SSS).
∴∠ABC = ∠ADC.
②如图，过点B作BF⊥AD，垂足为F.
∵AB = BC = CD = AD = 4，∠BAD = 30°，
∴BF = $\frac{1}{2}$AB = 2.
∴S_△ABD = $\frac{1}{2}$AD·BF = $\frac{1}{2}$×4×2 = 4.