《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

一、预习导学
【思考】多项式$a^{2}+2ab+b^{2}$与$a^{2}-2ab+b^{2}$有什么特点？你能将它们分解因式吗？
【分析】在学习整式乘法时，我们学过完全平方公式$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$，$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$，把这两个公式的等号两边互换，就得到$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$，$a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$，这就印证了因式分解。
(1)像$a^{2}+2ab+b^{2}$，$a^{2}-2ab+b^{2}$，这两个多项式是两个数的__________加上或减去这两个数的________的________倍，这样的式子叫作完全平方式。
(2)利用完全平方公式可实现因式分解：$a^{2}+2ab+b^{2}=$__________，$a^{2}-2ab+b^{2}=$__________。即两个数的__________加上(或减去)这两个数的积的__________倍，等于这两个数的和(或差)的__________。

答案：
(1)平方和 积 2
(2)$(a+b)^{2}$ $(a-b)^{2}$ 平方和 2 平方

【例1】(人教教材P131T1改编)下列多项式是完全平方式的是 (C)
A. $1+4a^{2}$
B. $a^{2}+ab+b^{2}$
C. $a^{2}-4a+4$
D. $4b^{2}+4b-1$

答案： 【例1】C

【变式1】填空：
(1)若$x^{2}+8x+n$是完全平方式，则$n=$______；
(2)若$x^{2}+mx+9$是完全平方式，则$m=$______；
(3)若$4x^{2}-kx+25$是完全平方式，则$k=$______。

答案： 【变式1】
(1)16
(2)$\pm 6$
(3)$\pm 20$

【例2】(人教教材P130例3)分解因式：
(1)$x^{2}+4x+4$；
(2)$16x^{2}-24x+9$。

答案： 【例2】解:
(1)原式$=x^{2}+2\cdot x\cdot 2+2^{2}$
$=(x+2)^{2}.$
(2)原式$=(4x)^{2}-2\cdot 4x\cdot 3+3^{2}$
$=(4x-3)^{2}.$

【变式2】分解因式：
(1)$x^{2}-12x+36$；
(2)$4p^{2}+12pq+9q^{2}$。

答案： 【变式2】解:
(1)原式$=x^{2}-2\cdot x\cdot 6+6^{2}$
$=(x-6)^{2}.$
(2)原式$=(2p)^{2}+2\cdot 2p\cdot 3q+(3q)^{2}$
$=(2p+3q)^{2}.$

【例3】(人教教材P130例4)分解因式：
(1)$(a+b)^{2}-12(a+b)+36$；
(2)$-x^{2}+4xy-4y^{2}$。

答案： 【例3】解:
(1)原式$=(a+b)^{2}-2\cdot (a+b)\cdot 6+6^{2}$
$=(a+b-6)^{2}.$
(2)原式$=-[x^{2}-2\cdot x\cdot 2y+(2y)^{2}]$
$=-(x-2y)^{2}.$

【变式3】(人教教材P131T2节选)分解因式：
(1)$(x+y)^{2}-10(x+y)+25$；
(2)$-2xy-x^{2}-y^{2}$。

答案： 【变式3】解:
(1)原式$=(x+y)^{2}-2\cdot (x+y)\cdot 5+5^{2}$
$=(x+y-5)^{2}.$
(2)原式$=-(2xy+x^{2}+y^{2})$
$=-(x+y)^{2}.$