《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

6. 利用因式分解计算：
(1)$59.8×60.2$；
(2)$2021^{2}-2020^{2}+2010^{2}-2009^{2}$。

答案： 6. 解:
(1)原式$=(60 - 0.2)(60 + 0.2)$
$=3600 - 0.04$
$=3599.96$.
(2)原式$=(2021 + 2020)(2021 - 2020) + (2010 + 2009)(2010 - 2009)$
$=4041 + 4019$
$=8060$.

7. (1)求证：当$n$是整数时，两个连续奇数的平方差$(2n+1)^{2}-(2n-1)^{2}$是8的倍数；
(2)两个连续偶数$2m+2$与$2m$($m$为整数)的平方差是8的倍数吗？如果是，说明理由；如果不是，将上述平方差的结果加上正整数$k$，使得最后的结果为8的倍数，求$k$的最小值。

答案： 7. 解:
(1)证明:$(2n + 1)^{2} - (2n - 1)^{2} = (2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1) = 4n\times 2 = 8n$.
$\therefore 2n + 1$与$2n - 1$的平方差是8的倍数.
(2)不是8的倍数.
$\because (2m + 2)^{2} - (2m)^{2} = (2m + 2 + 2m)\cdot (2m + 2 - 2m) = (4m + 2)\times 2 = 8m + 4$,
$\therefore$两个连续偶数的平方差不是8的倍数.
由题意,得$8m + 4 + k = 8(m + \frac{4 + k}{8})$.
当$4 + k = 8$,即$k = 4$时,$k$最小.
$\therefore k$的最小值是4.

8. 阅读下列材料：
材料1：将一个形如$x^{2}+px+q$的二次三项式因式分解时，如果能满足$q=mn$且$p=m+n$，那么可以把$x^{2}+px+q$因式分解成$(x+m)(x+n)$。
例如：①$x^{2}+4x+3=(x+1)(x+3)$；②$x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2)$。
材料2：分解因式：$(x+y)^{2}+2(x+y)+1$。
解：将“$x+y$”看成一个整体，令$x+y=A$，则原式$=A^{2}+2A+1=(A+1)^{2}$。再将“$A$”还原，得原式$=(x+y+1)$。
上述解题用到整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法。结合材料1和材料2，解答下列问题。
(1)因式分解：$(x-y)^{2}+4(x-y)+3$；
(2)因式分解：$m(m+2)(m^{2}+2m-2)-3$。

答案： 8. 解:
(1)设$M = x - y$,则$(x - y)^{2} + 4(x - y) + 3 = M^{2} + 4M + 3 = (M + 1)(M + 3)$.
$\therefore$原式$=(x - y + 1)(x + y + 3)$.
(2)设$N = m^{2} + 2m$,则$m(m + 2)(m^{2} + 2m - 2) - 3 = N(N - 2) - 3 = N^{2} - 2N - 3 = (N + 1)(N - 3)$.
$\therefore$原式$=(m^{2} + 2m + 1)(m^{2} + 2m - 3)$
$=(m + 1)^{2}(m - 1)(m + 3)$.