《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

2. (1)如图 1,在四边形 ABCD 中,$AB=AD,∠BAD=120^{\circ },∠B=∠ADC=90^{\circ }$,点 E,F 分别是 BC,CD 上的点,且$∠EAF=60^{\circ }$. 探究图中线段 BE,EF,DF 之间的数量关系并证明;(提示:延长 CD 到点 G,使得$DG=BE$)
(2)如图 2,在四边形 ABCD 中,$AB=AD,∠B+∠D=180^{\circ }$,点 E,F 分别是 BC,CD 上的点,且$∠EAF=\frac {1}{2}∠BAD$,上述结论是否仍然成立,并说明理由;
(3)如图 3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O 处)北偏西$20^{\circ }$的 A 处,舰艇乙在指挥中心南偏东$60^{\circ }$的 B 处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以 60 n mile/h 的速度前进,舰艇乙沿北偏东$50^{\circ }$的方向以 80 n mile/h 的速度前进. 1 h 后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E,F 处,且两舰艇之间的夹角为$70^{\circ }$,试求此时两舰艇之间的距离.[提示:可利用(2)的结论]

答案：
解：
(1)$EF = BE + DF$。证明如下：
如图1，延长$FD$到点$G$，使$DG = BE$，连接$AG$。

在$\triangle ABE$和$\triangle ADG$中，
$\left\{\begin{array}{l} BE = DG,\\ ∠B = ∠ADG,\\ AB = AD,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABE\cong \triangle ADG(SAS)$。
$\therefore AE = AG$，$∠BAE = ∠DAG$。
$\because ∠EAF=\frac{1}{2}∠BAD$，
$\therefore ∠GAF = ∠DAG + ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF = ∠BAD - ∠EAF = 120^{\circ} - 60^{\circ} = 60^{\circ}$。
$\therefore ∠EAF = ∠GAF$。
在$\triangle AEF$和$\triangle AGF$中，
$\left\{\begin{array}{l} AE = AG,\\ ∠EAF = ∠GAF,\\ AF = AF,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle AEF\cong \triangle AGF(SAS)$。
$\therefore EF = FG$。
$\because FG = DG + DF = BE + DF$，
$\therefore EF = BE + DF$。
(2) 上述结论$EF = BE + DF$仍然成立。理由如下：
如图2，延长$FD$至点$G$，使$DG = BE$，连接$AG$。

$\because ∠B + ∠ADC = 180^{\circ}$，$∠ADC + ∠ADG = 180^{\circ}$，
$\therefore ∠B = ∠ADG$。
在$\triangle ABE$和$\triangle ADG$中，
$\left\{\begin{array}{l} BE = DG,\\ ∠B = ∠ADG,\\ AB = AD,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABE\cong \triangle ADG(SAS)$。
$\therefore AE = AG$，$∠BAE = ∠DAG$。
$\because ∠EAF=\frac{1}{2}∠BAD$，
$\therefore ∠GAF = ∠DAG + ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF = ∠BAD - ∠EAF=\frac{1}{2}∠BAD$。
$\therefore ∠EAF = ∠GAF$。
在$\triangle AEF$和$\triangle AGF$中，
$\left\{\begin{array}{l} AE = AG,\\ ∠EAF = ∠GAF,\\ AF = AF,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle AEF\cong \triangle AGF(SAS)$。
$\therefore EF = FG$。
$\because FG = DG + DF = BE + DF$，
$\therefore EF = BE + DF$。
(3) 如图3，连接$EF$，延长$AE$，$BF$交于点$C$。

$\because ∠AOB = 20^{\circ} + 90^{\circ} + (90^{\circ} - 60^{\circ}) = 140^{\circ}$，$∠EOF = 70^{\circ}$，
$\therefore ∠EOF=\frac{1}{2}∠AOB$。
又$\because OA = OB$，$∠OAC + ∠OBC = (90^{\circ} - 20^{\circ}) + (60^{\circ} + 50^{\circ}) = 180^{\circ}$，
$\therefore$符合
(2)中的条件。
$\therefore$结论$EF = AE + BF$成立，
即$EF = 1×(60 + 80) = 140(n mile)$。
答：此时两舰艇之间的距离是$140n mile$。