《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A=46^{\circ}$,$CE$是$\angle ACB$的平分线,点$B$,$C$,$D$在同一条直线上,$FD// EC$,$\angle D=42^{\circ}$,求$\angle B$的度数.

答案： 解：$\because FD // EC$，$\angle D = 42 ^ { \circ }$，
$\therefore \angle BCE = \angle D = 42 ^ { \circ }$。
$\because CE$是$\angle ACB$的平分线，
$\therefore \angle ACB = 2 \angle BCE = 84 ^ { \circ }$。
$\because \angle A = 46 ^ { \circ }$，
$\therefore \angle B = 180 ^ { \circ } - 84 ^ { \circ } - 46 ^ { \circ } = 50 ^ { \circ }$。

2. 如图,在$Rt\triangle ACB$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$\angle 1=\angle B$.
(1)求证:$CD$是$\triangle ABC$的高;
(2)若$AC=8$,$BC=6$,$AB=10$,求$CD$的长.

答案： 解：
(1) 证明：$\because \angle ACB = 90 ^ { \circ }$，
$\therefore \angle 1 + \angle BCD = 90 ^ { \circ }$。
$\because \angle 1 = \angle B$，
$\therefore \angle B + \angle BCD = 90 ^ { \circ }$。
$\therefore \triangle BDC$是直角三角形，即$CD \perp AB$。
$\therefore CD$是$\triangle ABC$的高。
(2) $\because \angle ACB = \angle CDB = 90 ^ { \circ }$，
$\therefore S _ { \triangle ABC } = \frac { 1 } { 2 } A C \cdot B C = \frac { 1 } { 2 } A B \cdot C D$。
$\because AC = 8$，$BC = 6$，$AB = 10$，
$\therefore C D = \frac { A C \cdot B C } { A B } = \frac { 6 \times 8 } { 10 } = \frac { 24 } { 5 }$。

3. 已知$\triangle ABC$的三边$a$,$b$,$c$满足$a+b=3c-2$,$a-b=2c-6$,且$a＞b$.
(1)求$c$的取值范围;
(2)若$\triangle ABC$的周长为18,求$c$的值.

答案： 解：
(1) $\because a$，$b$，$c$分别为$\triangle ABC$的三边，$a + b = 3 c - 2$，$a - b = 2 c - 6$，
$\therefore \left\{ \begin{array} { l } { 3 c - 2 ＞ c }, \\ { | 2 c - 6 | ＜ c }, \end{array} \right.$
解得$2 ＜ c ＜ 6$。
$\therefore c$的取值范围为$2 ＜ c ＜ 6$。
(2) $\because \triangle ABC$的周长为$18$，$a + b = 3 c - 2$，
$\therefore a + b + c = 4 c - 2 = 18$，解得$c = 5$。
$\therefore c$的值为$5$。

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB＞\angle B$,$AD$平分$\angle BAC$,点$P$为线段$AD$上的任意一点,$EP\perp AD$交直线$BC$于点$E$.
(1)若$\angle B=36^{\circ}$,$\angle ACB=78^{\circ}$,求$\angle E$的度数;
(2)当点$P$在线段$AD$上运动时,求证:$\angle E=\frac{1}{2}(\angle ACB-\angle B)$.

答案： 解：
(1) $\because \angle B = 36 ^ { \circ }$，$\angle ACB = 78 ^ { \circ }$，
$\therefore \angle BAC = 180 ^ { \circ } - \angle B - \angle ACB = 66 ^ { \circ }$。
$\because AD$平分$\angle BAC$，
$\therefore \angle BAD = \frac { 1 } { 2 } \angle BAC = 33 ^ { \circ }$。
$\therefore \angle ADC = \angle B + \angle BAD = 69 ^ { \circ }$。
又$\because \angle DPE = 90 ^ { \circ }$，
$\therefore \angle E = 90 ^ { \circ } - \angle ADC = 21 ^ { \circ }$。
(2) 证明：$\because \angle B + \angle BAC + \angle ACB = 180 ^ { \circ }$，
$\therefore \angle BAC = 180 ^ { \circ } - ( \angle B + \angle ACB )$。
$\because AD$平分$\angle BAC$，
$\therefore \angle BAD = \frac { 1 } { 2 } \angle BAC = 90 ^ { \circ } - \frac { 1 } { 2 } ( \angle B + \angle ACB )$。
$\therefore \angle ADC = \angle B + \angle BAD = 90 ^ { \circ } - \frac { 1 } { 2 } \cdot ( \angle ACB - \angle B )$。
$\because PE \perp AD$，
$\therefore \angle DPE = 90 ^ { \circ }$。
$\therefore \angle ADC + \angle E = 90 ^ { \circ }$。
$\therefore \angle E = 90 ^ { \circ } - \angle ADC$。
$\therefore \angle E = \frac { 1 } { 2 } ( \angle ACB - \angle B )$。