《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

1. 如图，$∠BOC=30^{\circ }$，$CD⊥OA$于点D，$CE⊥OB$于点E，且$CD=CE$，则$∠AOC=$$30^\circ$。

答案： $30^\circ$

2. 如图，某市准备在一块由三条公路围成的$△ABC$区域内设立一个大型超市，要求超市到三条公路的距离相等，则超市应建立在$△ABC$的(A)
A. 两个内角的平分线的交点处
B. 两边高线的交点处
C. 两边中线的交点处
D. 两边的垂直平分线的交点处

答案： A

3. 如图，点O在$△ABC$内，且到三边的距离相等，$∠A=64^{\circ }$，则$∠BOC$的度数为(C)
A. $58^{\circ }$
B. $64^{\circ }$
C. $122^{\circ }$
D. $124^{\circ }$

答案： C

4. 如图，在$△ABC$中，$∠C=90^{\circ }$，$DE⊥AB$。若$CD=3$，$AB=10$，$△ABD$的面积为15。
(1)求DE的长；
(2)求证：AD平分$∠BAC$。

答案： 解:
(1) $ \because AB = 10$，$ \triangle ABD$ 的面积为 15，$DE \perp AB$，
$ \therefore S _ { \triangle A B D } = \frac { 1 } { 2 } A B \cdot D E$。
$ \therefore D E = \frac { 15 \times 2 } { 10 } = 3$。
(2) 证明: $ \because CD = 3$，
$ \therefore DE = CD$。
$ \because \angle C = 90 ^ { \circ }$，$DE \perp AB$，
$ \therefore AD$ 平分 $ \angle BAC$。

5. 如图，锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，且$OB=OC$。
(1)求证：$BE=CD$；
(2)判断点O是否在$∠BAC$的平分线上，并说明理由。

答案：
解:
(1) 证明: $ \because BD \perp AC$，$CE \perp AB$，
$ \therefore \angle B D C = \angle B E C = 90 ^ { \circ }$。
在 $ \triangle BOE$ 和 $ \triangle COD$ 中，
$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle B E O = \angle C D O, } \\ { \angle B O E = \angle C O D, } \\ { B O = C O, } \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle B O E \cong \triangle C O D ( \text{AAS} ) $。
$ \therefore BE = CD$。
(2) 点 $O$ 在 $ \angle BAC$ 的平分线上。
理由如下：如图，连接 $AO$。

由
(1)，得 $ \triangle BOE \cong \triangle COD$。
$ \therefore OE = OD$。
$ \because OE \perp AB$，$OD \perp AC$，
$ \therefore $ 点 $O$ 在 $ \angle BAC$ 的平分线上。

6. (中考热点·模型解题)如图，在$△ABC$中，点D在边BC上，$∠BAD=100^{\circ }$，$∠ABC$的平分线交AC于点E，过点E作$EF⊥AB$，交AB的延长线于点F，且$∠AEF=50^{\circ }$，连接DE。
(1)求证：DE平分$∠ADC$；
(2)若$AB=7$，$AD=4$，$CD=8$，且$S_{△ACD}=15$，求$△ABE$的面积。

答案：
解:
(1) 证明：如图，过点 $E$ 作 $EG \perp AD$ 于点 $G$，$EH \perp BC$ 于点 $H$。

$ \because EF \perp AB$，$ \angle AEF = 50 ^ { \circ }$，
$ \therefore \angle FAE = 90 ^ { \circ } - 50 ^ { \circ } = 40 ^ { \circ }$。
$ \because \angle BAD = 100 ^ { \circ }$，
$ \therefore \angle CAD = 180 ^ { \circ } - 100 ^ { \circ } - 40 ^ { \circ } = 40 ^ { \circ }$。
$ \therefore \angle FAE = \angle CAD = 40 ^ { \circ }$，
即 $AC$ 为 $ \angle DAF$ 的平分线。
又 $ \because EF \perp AB$，$EG \perp AD$，
$ \therefore EF = EG$。
$ \because BE$ 是 $ \angle ABC$ 的平分线，
$ \therefore EF = EH$。
$ \therefore EG = EH$。
$ \therefore $ 点 $E$ 在 $ \angle ADC$ 的平分线上。
$ \therefore DE$ 平分 $ \angle ADC$。
(2) 设 $EG = x$。
由
(1)，得 $EF = EH = EG = x$。
$ \because S _ { \triangle ACD } = 15$，$AD = 4$，$CD = 8$，
$ \therefore \frac { 1 } { 2 } AD \cdot EG + \frac { 1 } { 2 } CD \cdot EH = 15$，
即 $2x + 4x = 15$，解得 $x = 2.5$。
$ \therefore EF = x = 2.5$。
$ \therefore S _ { \triangle A B E } = \frac { 1 } { 2 } AB \cdot EF = \frac { 1 } { 2 } \times 7 \times 2.5 = \frac { 35 } { 4 }$。