《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

1. 如图，在$\triangle ABC$中，$BD$，$CD$分别是$\angle ABC$，$\angle ACB$的平分线，$BP$，$CP$是$\triangle ABC$的外角平分线。
（1）当$\angle A = 40^{\circ}$时，$\angle D$的度数为______，$\angle P$的度数为______；
（2）当$\angle A$的大小变化时，试探究$\angle D + \angle P$的度数是否变化。如果不变化，求$\angle D + \angle P$的值；如果变化，请说明理由。

答案： 解：
(1)110° 70°
(2)∠D + ∠P 的值不变. 理由如下：
由
(1)，得∠D = 90° + $\frac{1}{2}$∠A，∠P = 90° - $\frac{1}{2}$∠A，
∴∠D + ∠P = 180°.

2. 如图，$\angle AOB = 90^{\circ}$，点$C$，$D$分别在射线$OA$，$OB$上，$CE$是$\angle ACD$的平分线，$CE$的反向延长线与$\angle CDO$的平分线交于点$F$。
（1）若$\angle OCD = 50^{\circ}$，试求$\angle F$的度数；
（2）当$C$，$D$在射线$OA$，$OB$上任意移动时（不与点$O$重合），判断$\angle F$的大小是否变化，并说明理由。

答案： 解：
(1)
∵∠AOB = 90°，∠OCD = 50°，
∴∠CDO = 40°，∠ACD = 130°.
∵CE 是∠ACD 的平分线，DF 是∠CDO 的平分线，
∴∠ECD = $\frac{1}{2}$∠ACD = 65°，∠CDF = $\frac{1}{2}$∠CDO = 20°.
∵∠ECD = ∠F + ∠CDF，
∴∠F = 45°.
(2)不变化. 理由如下：
∵∠AOB = 90°，
∴∠CDO = 90° - ∠OCD，∠ACD = 180° - ∠OCD.
∵CE 是∠ACD 的平分线，DF 是∠CDO 的平分线，
∴∠ECD = 90° - $\frac{1}{2}$∠OCD，
∠CDF = 45° - $\frac{1}{2}$∠OCD.
∵∠ECD = ∠F + ∠CDF，
∴90° - $\frac{1}{2}$∠OCD = ∠F + 45° - $\frac{1}{2}$∠OCD.
∴∠F = 45°.

3. 已知线段$AB$，$CD$相交于点$O$，连接$AD$，$CB$。
（1）如图1，求证：$\angle A + \angle D = \angle B + \angle C$；
（2）如图2，$\angle ADC$和$\angle ABC$的平分线$DE$和$BE$相交于点$E$，并且与$AB$，$CD$分别相交于点$M$，$N$，$\angle A = 28^{\circ}$，$\angle C = 32^{\circ}$，求$\angle E$的度数；
（3）如图3，$\angle ADC$和$\angle ABC$的三等分线$DE$和$BE$相交于点$E$，并且与$AB$，$CD$分别相交于点$M$，$N$，$\angle CDE = \frac{1}{3}\angle ADC$，$\angle CBE = \frac{1}{3}\angle ABC$，试探究$\angle A$，$\angle C$，$\angle E$三者之间存在的数量关系，并说明理由。

答案： 证明：
∵∠A + ∠D + ∠AOD = ∠C + ∠B + ∠BOC = 180°，∠AOD = ∠BOC，
∴∠A + ∠D = ∠B + ∠C.
(2)
∵∠ADC 和∠ABC 的平分线 DE 和 BE 相交于点 E，
∴∠ADE = ∠CDE，∠ABE = ∠CBE.
由
(1)，得∠A + ∠ADE = ∠E + ∠ABE，∠C + ∠CBE = ∠E + ∠CDE，
∴∠A + ∠C = 2∠E.
∵∠A = 28°，∠C = 32°，
∴∠E = 30°.
(3)∠A + 2∠C = 3∠E. 理由如下：
∵∠CDE = $\frac{1}{3}$∠ADC，∠CBE = $\frac{1}{3}$∠ABC，
∴∠ADE = 2∠CDE，∠ABE = 2∠CBE.
由
(1)，得∠A + ∠ADE = ∠E + ∠ABE，∠C + ∠CBE = ∠E + ∠CDE，
∴2∠C + 2∠CBE = 2∠E + 2∠CDE.
∴∠A + 2∠C + ∠ADE + 2∠CBE = 3∠E + ∠ABE + 2∠CDE，
即∠A + 2∠C = 3∠E.