《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

一、预习导学
单项式与多项式相乘法则：
一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
几何解释：如图，大长方形的面积等于三个小长方形面积的和。

$ p(a + b + c) = $$ pa + pb + pc $。

答案： 多项式　相加　$ pa + pb + pc $

【例1】计算：
(1)$ 3x^{2}(3x - y) $；
(2)$ (-2x)\cdot(2x^{2} + 4x - 1) $。

答案： 解：
(1)原式 $ = 3x^{2} \cdot 3x - 3x^{2} \cdot y $
$ = 9x^{3} - 3x^{2}y $.
(2)原式 $ = (-2x) \cdot (2x^{2}) + (-2x) \cdot (4x) - (-2x) \cdot 1 $
$ = -4x^{3} - 8x^{2} + 2x $.

【变式1】计算：
(1)$ (-2x)(5x^{2} - 2xy) $；
(2)$ 3x(2x^{2} + 4x - 1) $。

答案： 解：
(1)原式 $ = (-2x) \cdot (5x^{2}) - (-2x) \cdot (2xy) $
$ = -10x^{3} + 4x^{2}y $.
(2)原式 $ = 3x \cdot 2x^{2} + 3x \cdot 4x - 3x \cdot 1 $
$ = 6x^{3} + 12x^{2} - 3x $.

【例2】计算：
(1)$ (2x)^{3}(2x - 3y) $；
(2)$ (2x + y - 4)(-3x)^{2} $。

答案： 解：
(1)原式 $ = 8x^{3}(2x - 3y) $
$ = 16x^{4} - 24x^{3}y $.
(2)原式 $ = (2x + y - 4)(9x^{2}) $
$ = 18x^{3} + 9x^{2}y - 36x^{2} $.

【变式2】计算：
(1)$ (-3xy)^{2}(x - 2y) $；
(2)$ (xy)^{2}(x^{2} - x - 1) $。

答案： 解：
(1)原式 $ = 9x^{2}y^{2}(x - 2y) $
$ = 9x^{3}y^{2} - 18x^{2}y^{3} $.
(2)原式 $ = x^{2}y^{2}(x^{2} - x - 1) $
$ = x^{4}y^{2} - x^{3}y^{2} - x^{2}y^{2} $.

【例3】先化简，再求值：$ x^{2}(2x - 1) - 2x(x^{2} - 2x + 1) $，其中$ x = - 2 $。

答案： 解：原式 $ = 2x^{3} - x^{2} - 2x^{3} + 4x^{2} - 2x $
$ = 3x^{2} - 2x $.
当 $ x = -2 $ 时，原式 $ = 3 \times (-2)^{2} - 2 \times (-2) = 16 $.

【变式3】先化简，再求值：$ x(x - 1) + 2x(x + 1) - 3x(2x - 5) $，其中$ x = - 2 $。

答案： 解：原式 $ = x^{2} - x + 2x^{2} + 2x - 6x^{2} + 15x $
$ = -3x^{2} + 16x $.
当 $ x = -2 $ 时，原式 $ = -3 \times (-2)^{2} + 16 \times (-2) = -44 $.