《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

【例3】(人教教材P22T7)如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，且AE，BF相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°. 求∠DAC和∠BOA的度数.

答案： 解：
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°.
∵∠C=70°，
∴∠DAC=90° - 70°=20°.
∵AE平分∠BAC，∠BAC=50°，
∴∠BAO=$\frac{1}{2}$∠BAC=25°.
∵∠ABC=180° - ∠BAC - ∠C=60°，BF平分∠ABC，
∴∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°.
∴∠BOA=180° - ∠BAO - ∠ABO=125°.
∴∠DAC和∠BOA的度数分别为20°和125°.

【变式3】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠B=70°，∠C=30°.
(1)求∠DAE的度数；
(2)只知道∠B-∠C=40°，能得出∠DAE的度数吗？请说明理由.

答案： 解：（1）
∵在△ABC中，∠B=70°，∠C=30°，
∴∠BAC=80°.
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=40°.
∵AD⊥BC，∠B=70°，
∴∠BAD=90° - ∠B=90° - 70°=20°.
∴∠DAE=∠BAE - ∠BAD=20°.
（2）能.理由如下：
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{180° - ∠B - ∠C}{2}$.
∵∠BAD=90° - ∠B，
∴∠DAE=∠BAE - ∠BAD
=$\frac{180° - ∠B - ∠C}{2}$ - (90° - ∠B)
=$\frac{∠B - ∠C}{2}$.
∵∠B - ∠C=40°，
∴∠DAE=20°.

【例4】(人教教材P17T11改编)已知CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E.
(1)如图1，求证：∠BAC=∠B+2∠E；
(2)如图2，点F为AB上的一点，∠ACD=90°.
①若∠B=∠FCB，∠EFC=∠E，求∠B的度数；
②若∠B-∠BCF=10°，∠EFC=2∠E，求∠E的度数.

答案： 解：（1）证明：设∠ACD=2a°.
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ACE=∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACD=a°.
∵∠B+∠BAC=∠ACD=2a°，∠E+∠ACE=∠BAC，即∠E+a°=∠BAC，
∴∠B+∠BAC=2(∠BAC - ∠E).
∴∠BAC=∠B+2∠E.
（2）①设∠B=∠FCB=x°，∠EFC=∠E=y°.
∵∠ACD=90°，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ACE=∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACD=45°.
∴∠B+∠E=∠DCE=45°，即x + y=45.
∴∠B+∠FCB=∠EFC，即2x=y.
∴x=15.
∴∠B=15°.
②设∠BCF=β°.
∴∠B - β°=10°.
∵∠EFC=2∠E，∠B+∠BCF=∠EFC，
∴∠B+β°=2∠E.
∵∠B+∠E=∠DCE=45°，
∴∠E=20°.

【变式4】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AC上的一点，DE⊥AB于点E，BF为△ABC的角平分线.
(1)若∠ABC=α，则∠ADE=α；(用含α的式子表示)
(2)探究∠AFB与∠ADE之间的数量关系.

∠AFB=90°+$\frac{1}{2}$∠ADE.
理由如下：∵∠AFB是△CBF的外角，
∴∠AFB=∠ACB+∠CBF.
∵BF为△ABC的角平分线，
∴∠CBF=$\frac{1}{2}$∠ABC.
∵∠ACB=90°，
∴∠AFB=90°+$\frac{1}{2}$∠ABC.
∵∠ABC=∠ADE，
∴∠AFB=90°+$\frac{1}{2}$∠ADE.

答案： 解：（1）α
（2）∠AFB=90°+$\frac{1}{2}$∠ADE.
理由如下：
∵∠AFB是△CBF的外角，
∴∠AFB=∠ACB+∠CBF.
∵BF为△ABC的角平分线，
∴∠CBF=$\frac{1}{2}$∠ABC.
∵∠ACB=90°，
∴∠AFB=90°+$\frac{1}{2}$∠ABC.
∵∠ABC=∠ADE，
∴∠AFB=90°+$\frac{1}{2}$∠ADE.