《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

1. 如图，$OM=ON$，$MP=NP$。求证：$OP$平分$∠MON$。

答案： 证明：在$\triangle OMP$和$\triangle ONP$中，
$\left\{\begin{array}{l} OM=ON,\\ MP=NP,\\ OP=OP,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle OMP\cong \triangle ONP(SSS).$
$\therefore ∠MOP=∠NOP$，即$OP$平分$∠MON.$

思考：如图，如何用尺规作出$∠AOB$的平分线？

答案：
[思考]解:如图,OE为∠AOB的平分线.

2. 探究：如图，$OC$是$∠AOB$的平分线，点$P_{1}$，$P_{2}$，$P_{3}$，…在$OC$上，过点$P_{1}$，$P_{2}$，$P_{3}$，…分别作$OA$与$OB$的垂线，垂足分别为$D_{1}$与$E_{1}$，$D_{2}$与$E_{2}$，$D_{3}$与$E_{3}$……分别比较$P_{1}D_{1}$与$P_{1}E_{1}$，$P_{2}D_{2}$与$P_{2}E_{2}$，$P_{3}D_{3}$与$P_{3}E_{3}$的大小……，你有什么发现？
结论：角的平分线上的点到角两边的____。
几何语言：
$\because OC$平分$∠AOB$，____，____，
$\therefore$____。

答案： 发现：$P_{1}D_{1}=P_{1}E_{1},P_{2}D_{2}=P_{2}E_{2},$
$P_{3}D_{3}=P_{3}E_{3}... ... $
距离相等
$P_{1}D_{1}⊥AO$ $P_{1}E_{1}⊥BO$
$P_{1}D_{1}=P_{1}E_{1}$

【例1】如图，点$P$为$∠AOB$平分线上的点，$PD⊥OA$于点$D$，$PD=2cm$，则点$P$到$OB$的距离为( )

A. $5cm$
B. $4cm$
C. $3cm$
D. $2cm$

答案： D

【变式1】如图，在$Rt△ABC$中，$∠A=90^{\circ}$，$∠ABC$的平分线$BD$交$AC$于点$D$，$AD=3$，$BC=8$，则$△BDC$的面积是( )

A. $8$
B. $12$
C. $20$
D. $24$

答案： B

【例2】如图，在$△ABC$中，点$D$是$BC$的中点，$AD$是$∠BAC$的平分线，$DE⊥AB$，$DF⊥AC$，垂足分别为$E$，$F$。求证：$BE=CF$。

答案： 证明：$\because DE⊥AB,DF⊥AC$，$AD$平分$∠BAC$，
$\therefore ∠BED=∠CFD=90^{\circ },DE=DF.$
∵点$D$是$BC$的中点，
$\therefore BD=CD.$
在$Rt\triangle BDE$和$Rt\triangle CDF$中，
$\left\{\begin{array}{l} DE=DF,\\ BD=CD,\end{array}\right.$
$\therefore Rt\triangle BDE\cong Rt\triangle CDF(HL).$
$\therefore BE=CF.$

【变式2】(人教教材P50T2)如图，$OC$是$∠AOB$的平分线，点$P$在$OC$上，$PD⊥OA$，$PE⊥OB$，垂足分别为$D$，$E$。点$F$，$G$分别在$OA$，$OB$上，$DF=EG$，连接$PF$，$PG$。求证：$PF=PG$。

答案： 证明：$\because OP$是$∠AOB$的平分线，$PD⊥OA,PE⊥OB$，
$\therefore PD=PE,∠PDF=∠PEG=90^{\circ }.$
在$\triangle PDF$和$\triangle PEG$中，
$\left\{\begin{array}{l} PD=PE,\\ ∠PDF=∠PEG,\\ DF=EG,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle PDF\cong \triangle PEG(SAS).$
$\therefore PF=PG.$