《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

【例1】(人教教材P60T13)如图，$\triangle ABC \cong \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$，$AD$，$A^{\prime} D^{\prime}$分别是$\triangle ABC$，$\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$的对应边上的中线。$AD$与$A^{\prime} D^{\prime}$有什么关系？证明你的结论。

答案： 解：$AD = A'D'$。
证明如下：$\because \triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$，
$\therefore AB = A'B'$，$\angle B = \angle B'$，$BC = B'C'$。
$\because AD$，$A'D'$分别是$\triangle ABC$，$\triangle A'B'C'$的对应边上的中线，
$\therefore BD = \frac{1}{2}BC$，$B'D' = \frac{1}{2}B'C'$。
$\therefore BD = B'D'$。
在$\triangle ABD$和$\triangle A'B'D'$中，
$\left\{\begin{array}{l} AB = A'B',\\ \angle B = \angle B',\\ BD = B'D',\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABD \cong \triangle A'B'D'(SAS)$。
$\therefore AD = A'D'$。

【变式1】(人教教材P45T16)如图，$\triangle ABC \cong \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$，$AD$，$A^{\prime} D^{\prime}$分别是$\triangle ABC$，$\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$的对应角的平分线。求证$AD = A^{\prime} D^{\prime}$。

答案： 证明：$\because \triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$，
$\therefore AB = A'B'$，$\angle B = \angle B'$，$\angle BAC = \angle B'A'C'$。
$\because AD$和$A'D'$分别是$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$的角平分线，
$\therefore \angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC$，$\angle B'A'D' = \frac{1}{2}\angle B'A'C'$。
$\therefore \angle BAD = \angle B'A'D'$。
在$\triangle ABD$和$\triangle A'B'D'$中，
$\left\{\begin{array}{l} \angle BAD = \angle B'A'D',\\ AB = A'B',\\ \angle B = \angle B',\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABD \cong \triangle A'B'D'(ASA)$。
$\therefore AD = A'D'$。

【例2】(人教教材P59T5)如图，海岸上有$A$，$B$两个观测点，点$B$在点$A$的正东方，海岛$C$在观测点$A$的正北方，海岛$D$在观测点$B$的正北方。如果从观测点$A$看海岛$C$，$D$的视角$\angle CAD$与从观测点$B$看海岛$C$，$D$的视角$\angle CBD$相等，那么海岛$C$，$D$到观测点$A$，$B$所在海岸的距离$CA$，$DB$相等。请你说明理由。

答案：
解：如图，设$BC$与$AD$交于点$O$。

由题意，得$\angle CAB = \angle DBA = 90^{\circ}$，$\angle CAD = \angle CBD$。
$\because \angle COA = \angle DOB$，
$\therefore \angle C = \angle D$。
在$\triangle CAB$和$\triangle DBA$中，
$\left\{\begin{array}{l} \angle C = \angle D,\\ \angle CAB = \angle DBA,\\ AB = BA,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle CAB \cong \triangle DBA(AAS)$。
$\therefore CA = DB$，
即海岛$C$，$D$到观测点$A$，$B$所在海岸的距离$CA$，$DB$相等。

【变式2】(人教教材P59T9)如图，两车从路段$AB$的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达$C$，$D$两地。$C$，$D$两地到路段$AB$的距离$CE$，$DF$相等吗？为什么？

答案： 解：$C$，$D$两地到路段$AB$的距离$CE$，$DF$相等。理由如下：
根据题意，得$AC = BD$。
$\because CE \perp AB$，$DF \perp AB$，
$\therefore \angle AEC = \angle BFD = 90^{\circ}$。
$\because AC // BD$，
$\therefore \angle A = \angle B$。
在$\triangle AEC$和$\triangle BFD$中，
$\left\{\begin{array}{l} \angle AEC = \angle BFD,\\ \angle A = \angle B,\\ AC = BD,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle AEC \cong \triangle BFD(AAS)$。
$\therefore CE = DF$。
$\therefore C$，$D$两地到路段$AB$的距离$CE$，$DF$相等。