《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

【探究】如图，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

可以发现，三角形木架的形状不会改变，这就是说，三角形是具有稳定性的图形.

答案： 稳定性

【例5】如图，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是应用了三角形的哪个性质？

答案： 【解析】：三角形具有稳定性，塔吊的上部是三角形结构，是为了使塔吊更加稳固，不易变形。
【答案】：稳定性

【变式5】如图，小卓在上网课时将平板电脑的后支架打开，该平板能稳稳放在桌子上，其利用的原理是(A)
A. 三角形具有稳定性
B. 两点之间，线段最短
C. 两直线平行，内错角相等
D. 垂线段最短

答案： A

1. 在下列长度的四根木棒中，能与$5\mathrm{c}\mathrm{m}$，$9\mathrm{c}\mathrm{m}$长的两根木棒钉成一个三角形的是(C)
A. $3\mathrm{c}\mathrm{m}$
B. $4\mathrm{c}\mathrm{m}$
C. $5\mathrm{c}\mathrm{m}$
D. $14\mathrm{c}\mathrm{m}$

答案： C

2. 下列图形中，具有稳定性的是(B)

答案： B

3.(中考热点·分类讨论)已知在$\triangle ABC$中，$AB = 6$，且$BC = 2a + 2$，$AC = 20$.
(1)求$a$的取值范围；
(2)若$\triangle ABC$为等腰三角形，求$a$的值.

答案： 【解析】：
(1)根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
在$\triangle ABC$中，$AC - AB\lt BC\lt AC + AB$。
已知$AB = 6$，$BC = 2a + 2$，$AC = 20$，则$20 - 6\lt 2a + 2\lt 20 + 6$。
先解不等式$20 - 6\lt 2a + 2$，
$14\lt 2a + 2$，
移项可得$14 - 2\lt 2a$，
即$12\lt 2a$，
两边同时除以$2$得$a\gt 6$。
再解不等式$2a + 2\lt 20 + 6$，
$2a + 2\lt 26$，
移项可得$2a\lt 26 - 2$，
即$2a\lt 24$，
两边同时除以$2$得$a\lt 12$。
所以$a$的取值范围是$6\lt a\lt 12$。
(2)因为$\triangle ABC$为等腰三角形，所以分三种情况讨论：
①当$AB = BC$时，即$6 = 2a + 2$，
移项可得$2a=6 - 2$，
$2a = 4$，
两边同时除以$2$得$a = 2$，
但$2$不满足$6\lt a\lt 12$，所以这种情况舍去。
②当$AB = AC$时，$6\neq20$，这种情况不成立。
③当$BC = AC$时，即$2a + 2 = 20$，
移项可得$2a=20 - 2$，
$2a = 18$，
两边同时除以$2$得$a = 9$，$9$满足$6\lt a\lt 12$。
【答案】：
(1)$6\lt a\lt 12$；
(2)$9$

4.(方程思想)已知一等腰三角形的周长为$24$，其中两边之差为$6$，求这个等腰三角形的腰长.

答案： 【解析】：设等腰三角形的腰长为$x$，底边长为$y$。
情况一：当腰比底长$6$时，可列方程组$\begin{cases}2x + y = 24\\x - y = 6\end{cases}$
将两式相加消去$y$可得：$2x + y+x - y=24 + 6$，即$3x = 30$，解得$x = 10$，
把$x = 10$代入$x - y = 6$，得$10 - y = 6$，解得$y = 4$。
此时三角形三边长为$10$，$10$，$4$，因为$10+4＞10$，$10 + 10＞4$，满足三角形三边关系。
情况二：当底比腰长$6$时，可列方程组$\begin{cases}2x + y = 24\\y - x = 6\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去$y$可得：$2x + y-(y - x)=24 - 6$，即$2x + y - y+x = 18$，$3x = 18$，解得$x = 6$，
把$x = 6$代入$y - x = 6$，得$y-6 = 6$，解得$y = 12$。
此时三角形三边长为$6$，$6$，$12$，因为$6 + 6=12$，不满足三角形三边关系，舍去这种情况。
【答案】：$10$