《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

1. 已知$x^{2}+kx+16$可以用完全平方公式进行因式分解，则$k$的值为 (D)
A. $-8$
B. $\pm 4$
C. $8$
D. $\pm 8$

答案： 1. D

2. 若$x^{2}-10x+m$因式分解的结果是$(x+n)^{2}$，则$m=$25，$n=$-5。

答案： 2. 25 -5

3. 运用公式法分解因式：
(1)$4x^{2}+y^{2}-4xy$；
(2)$9-12a+4a^{2}$；
(3)$4+12(x-y)+9(x-y)^{2}$；
(4)$-(m+n)^{2}+4(m+n)-4$。

答案： 3. 解:
(1)原式$=(2x)^{2}-2\cdot 2x\cdot y+y^{2}$
$=(2x-y)^{2}.$
(2)原式$=3^{2}-2\cdot 3\cdot 2a+(2a)^{2}$
$=(3-2a)^{2}.$
(3)原式$=2^{2}+2\cdot 2\cdot 3(x-y)+[3(x-y)]^{2}$
$=[2+3(x+y)]^{2}$
$=(2+3x+3y)^{2}.$
(4)原式$=-[(m+n)^{2}-4(m+n)+2^{2}]$
$=-(m+n-2)^{2}.$

4. 利用因式分解计算：
(1)$202^{2}+202×196+98^{2}$；
(2)$850^{2}-1700×848+848^{2}$。

答案： 4. 解:
(1)原式$=202^{2}+2×98×202+98^{2}$
$=(202+98)^{2}$
$=300^{2}$
$=90000.$
(2)原式$=850^{2}-2×850×848+848^{2}$
$=(850-848)^{2}$
$=2^{2}$
$=4.$

5. (人教教材P132T9改编)观察下列式子，解答下列问题。
$1^{2}+1^{2}×2^{2}+2^{2}=(1+1+1)^{2}$；
$2^{2}+2^{2}×3^{2}+3^{2}=(4+2+1)^{2}$；
$3^{2}+3^{2}×4^{2}+4^{2}=(9+3+1)^{2}$；
……
(1)写出第4个等式；
(2)写出第$n$个等式，并给予证明。

答案： 5. 解:
(1)第4个等式:$4^{2}+4^{2}×5^{2}+5^{2}=(16+4+1)^{2}.$
(2)第n个等式:$n^{2}+n^{2}(n+1)^{2}+(n+1)^{2}=(n^{2}+n+1)^{2}.$
等式左边$=n^{2}[1+(n+1)^{2}]+(n+1)^{2},$
等式右边$=(n^{2})^{2}+2n^{2}(n+1)+(n+1)^{2}$
$=n^{2}[n^{2}+2(n+1)]+(n+1)^{2}$
$=n^{2}(n^{2}+2n+1+1)+(n+1)^{2}$
$=n^{2}[(n+1)^{2}+1]+(n+1)^{2},$
∴等式左边=等式右边,故等式成立.