《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

一、预习导学
对于一些复杂的因式分解问题,有时需要多次运用公式法,有时还需要综合运用提公因式法和公式法.请看下面的例子:
$x^{4}-1=(x^{2})^{2}-1^{2}=(x^{2}+1)(x^{2}-1)=$$(x^{2}+1)(x+1)(x-1)$;
$ax^{2}-ay^{2}=a(x^{2}-y^{2})=$$a(x+y)(x-y)$.

答案： $(x^{2}+1)(x+1)(x-1)$
$a(x+y)(x-y)$

【例1】(人教教材P131例5)分解因式:
(1)$x^{4}-y^{4}$; (2)$a^{3}b-ab$.

答案： 解：
(1)原式$=(x^{2}+y^{2})(x^{2}-y^{2})$
$=(x^{2}+y^{2})(x+y)(x-y)$
(2)原式$=ab(a^{2}-1)$
$=ab(a+1)(a-1)$

【变式1】分解因式:
(1)$x^{2}y-4y$; (2)$-a^{4}+16$.

答案： 解：
(1)原式$=y(x^{2}-4)$
$=y(x+2)(x-2)$
(2)原式$=(4+a^{2})(4-a^{2})$
$=(4+a^{2})(2+a)(2-a)$

【例2】分解因式:$x^{2}(a+b)-y^{2}(a+b)$.

答案： 解：原式$=(a+b)(x^{2}-y^{2})$
$=(a+b)(x+y)(x-y)$

【变式2】分解因式:$x^{2}(a-b)+9(b-a)$.

答案： 解：原式$=(a-b)(x^{2}-9)$
$=(a-b)(x+3)(x-3)$

【例3】分解因式:
(1)$3ax^{2}+6axy+3ay^{2}$;
(2)$-ax^{2}+2a^{2}x-a^{3}$.

答案： 解：
(1)原式$=3a(x^{2}+2xy+y^{2})$
$=3a(x+y)^{2}$
(2)原式$=-a(x^{2}-2ax+a^{2})$
$=-a(x-a)^{2}$

【变式3】分解因式:
(1)$a^{3}-2a^{2}+a$;
(2)$-4bx^{2}+8bxy-4by^{2}$.

答案： 解：
(1)原式$=a(a^{2}-2a+1)$
$=a(a-1)^{2}$
(2)原式$=-4b(x^{2}-2xy+y^{2})$
$=-4b(x-y)^{2}$

【例4】分解因式:$m^{4}-18m^{2}+81$.

答案： 解：原式$=(m^{2})^{2}-2×9m^{2}+9^{2}$
$=(m^{2}-9)^{2}$
$=(m+3)^{2}(m-3)^{2}$

【变式4】分解因式:$(2ab+1)^{2}-a^{4}b^{4}$.

答案： 解：原式$=(2ab+1)^{2}-(a^{2}b^{2})^{2}$
$=(2ab+1+a^{2}b^{2})(2ab+1-a^{2}b^{2})$
$=(ab+1)^{2}(2ab+1-a^{2}b^{2})$