《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

【例3】如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AD \perp BC$于点$D$，点$E$在线段$AD$上. 求证：$BE = CE$.

答案： 证明：$\because AB = AC$，$AD\perp BC$，
$\therefore \angle BAE=\angle CAE$．
在$\triangle ABE$和$\triangle ACE$中，
$\left\{\begin{array}{l}AB = AC,\\\angle BAE=\angle CAE,\\AE = AE,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABE\cong\triangle ACE(SAS)$．
$\therefore BE = CE$．

【变式3】如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AD$是边$BC$上的中线，点$E$是边$AC$上的一点，且$\angle 1 = \angle 2$. 求证：$BE \perp AC$.

答案： 证明：$\because AB = AC$，$AD$是边BC上的中线，
$\therefore AD\perp BC$．
$\therefore \angle 1+\angle C = 90^{\circ}$．
又$\because \angle 2=\angle 1$，
$\therefore \angle 2+\angle C = 90^{\circ}$．
$\therefore \angle BEC = 90^{\circ}$，即$BE\perp AC$．

1. 如图，在平面直角坐标系中，$\triangle OAB$的顶点$A$的坐标为$(3,-2)$，点$B$在$y$轴负半轴上，若$OA = AB$，则点$B$的坐标为$(0,-4)$.

答案： $(0,-4)$

2. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，下列结论中不正确的是____. (填序号)
①$AD \perp BC$；②$\angle B = \angle C$；③$DB = DC$；④$AB = 2BD$；⑤$\triangle ADB \cong \triangle ADC$.

④

答案： ④

3. (中考热点·等腰三角形与全等综合)如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AD \perp BC$于点$D$，$CE \perp AB$于点$E$，$AE = CE$. 求证：
(1)$\triangle AEF \cong \triangle CEB$；
(2)$AF = 2CD$.

答案： 证明：
(1)$\because AD\perp BC$，
$\therefore \angle B+\angle BAD = 90^{\circ}$．
$\because CE\perp AB$，
$\therefore \angle B+\angle BCE = 90^{\circ}$．
$\therefore \angle BAD=\angle BCE$，即$\angle EAF=\angle ECB$．
在$\triangle AEF$和$\triangle CEB$中，
$\left\{\begin{array}{l}\angle AEF=\angle CEB,\\AE = CE,\\\angle EAF=\angle ECB,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle AEF\cong\triangle CEB(ASA)$．
(2)由
(1)，得$\triangle AEF\cong\triangle CEB$，
$\therefore AF = BC$．
$\because AB = AC$，$AD\perp BC$，
$\therefore CD = BD$，$BC = 2CD$．
$\therefore AF = 2CD$．

4. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，点$E$为边$BC$上的点，且$AE = AC$，点$D$为线段$EC$的中点，连接$AD$，过点$E$作$EF \perp AE$，交$BC$的平行线$AF$于点$F$.
求证：(1)$\angle B = \angle CAD$；
(2)$AB = EF$.

答案： 证明：
(1)$\because AE = AC$，点D为线段EC的中点，
$\therefore AD\perp BC$．
$\therefore \angle B+\angle BAD = 90^{\circ}$．
$\because \angle BAC = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAD+\angle CAD = 90^{\circ}$．
$\therefore \angle B=\angle CAD$．
(2)$\because AF// BC$，
$\therefore \angle AEC=\angle EAF$．
$\because AE = AC$，
$\therefore \angle AEC=\angle ACB$．
$\therefore \angle ACB=\angle EAF$．
$\because EF\perp AE$，
$\therefore \angle BAC=\angle FEA = 90^{\circ}$．
在$\triangle ABC$和$\triangle EFA$中，
$\left\{\begin{array}{l}\angle BAC=\angle FEA,\\AC = EA,\\\angle ACB=\angle EAF,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABC\cong\triangle EFA(ASA)$．
$\therefore AB = EF$．