《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

【例1】先化简，再求值：$(3x-2y)(2x+3y)-[2(x+y)]^{2}-x(2x+y)$，其中$5-2xy-5y^{2}=0$.

答案： 解：原式$=6x^{2}+9xy-4xy-6y^{2}-4x^{2}-8xy-4y^{2}-2x^{2}-xy=-4xy-10y^{2}.$
$\because 5-2xy-5y^{2}=0,$
$\therefore 2xy+5y^{2}=5.$
$\therefore$原式$=-2(2xy+5y^{2})=-2×5=-10.$

【变式1】先化简，再求值：$(2x-y)^{2}+(2x+y)\cdot (y-2x)-2x(x-2y)$，其中$\left|x+\frac{1}{2}\right|+(y+1)^{2}=0$.

答案： 解：原式$=4x^{2}-4xy+y^{2}+y^{2}-4x^{2}-2x^{2}+4xy=2y^{2}-2x^{2}.$
又$\because |x+\frac {1}{2}|+(y+1)^{2}=0,$
$\therefore |x+\frac {1}{2}|=0,(y+1)^{2}=0,$
即$x=-\frac {1}{2},y=-1.$
当$x=-\frac {1}{2},y=-1$时，原式$=2×(-1)^{2}-2×(-\frac {1}{2})^{2}=\frac {3}{2}.$

【例2】老师在黑板上写出三个算式：$5^{2}-3^{2}=8×2$，$9^{2}-7^{2}=8×4$，$15^{2}-3^{2}=8×27$.王华接着又写了两个具有同样规律的算式：$11^{2}-5^{2}=8×12$，$15^{2}-7^{2}=8×22$.
（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；
（2）用文字写出反映上述算式的规律；
（3）证明这个规律的正确性.

答案： 解：
(1)$11^{2}-9^{2}=8×5,13^{2}-11^{2}=8×6.$
(2)规律：任意两个奇数的平方差是8的倍数.
(3)证明：设$m,n$为正整数，两个奇数可表示$2m+1$和$2n+1$.
则$(2m+1)^{2}-(2n+1)^{2}=(2m+1+2n+1)(2m+1-2n-1)=4(m-n)(m+n+1).$
当$m,n$同是奇数或偶数时，$(m-n)$一定为偶数，$\therefore 4(m-n)$一定是8的倍数；
当$m,n$一奇一偶时，则$(m+n+1)$一定为偶数，$\therefore 4(m+n+1)$一定是8的倍数.
综上所述，任意两个奇数的平方差是8的倍数.

【变式2】请同学们观察下列关于正整数的平方拆分的等式：
第1个等式：$2^{2}=1+1^{2}+2$；
第2个等式：$3^{2}=2+2^{2}+3$；
第3个等式：$4^{2}=3+3^{2}+4$；
第4个等式：$5^{2}=4+4^{2}+5$.
（1）请用此方法拆分$2024^{2}$；
（2）请用上面的规律归纳出一个一般的结论（用含$n$的等式表示，$n$为正整数），并运用有关知识，验证这个结论是正确的.

答案： 解：
(1)$2024^{2}=2023+2023^{2}+2024.$
(2)$(n+1)^{2}=n+n^{2}+(n+1).$
验证：左边$=(n+1)^{2},$
右边$=n+n^{2}+(n+1)=n^{2}+2n+1=(n+1)^{2},$
即左边=右边.
$\therefore (n+1)^{2}=n+n^{2}+(n+1)$正确.