《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

1. 证明全等的方法有SSS，SAS，ASA，AAS，HL。

答案： SSS SAS ASA AAS HL

2. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，请添加一个条件，使得△ABD≌△ACD。请在横线上填上条件，括号内填判定方法。
(1)AB=AC（HL）；
(2)∠BAD=∠CAD（ASA）；
(3)BD=CD（SAS）；
(4)∠B=∠C（AAS）。

答案：
(1)$AB=AC$ HL
(2)$∠BAD=∠CAD$ ASA
(3)$BD=CD$ SAS
(4)$∠B=∠C$ AAS

3. 如图，AD与BC相交于点E，∠A=∠C=90°。求证：∠B=∠D。

答案： 解：$\because ∠A+∠B+∠AEB=180^{\circ },$
$∠C+∠D+∠CED=180^{\circ },$
$∠AEB=∠CED,$
$\therefore ∠B=∠D.$

【例1】如图，AD⊥AB于点A，BE⊥AB于点B，点C是AB的中点，AD=BE。求证：∠D=∠E。

答案： 证明：$\because$点C是AB的中点，
$\therefore AC=BC.$
$\because AD⊥AB,BE⊥AB,$
$\therefore ∠CAD=∠CBE=90^{\circ }.$
在$△CAD$和$△CBE$中，
$\left\{\begin{array}{l} AC=BC,\\ ∠CAD=∠CBE,\\ AD=BE,\end{array}\right. $
$\therefore △CAD\cong △CBE(SAS).$
$\therefore ∠D=∠E.$

【变式1】如图，D，C，F，B四点在一条直线上，AB=ED，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为C，F，CD=BF。求证：AB//DE。

答案： 证明：$\because AC⊥BD,EF⊥BD,$
$\therefore ∠ACB=∠EFD=90^{\circ }.$
$\because CD=BF,$
$\therefore CD+CF=BF+CF$，即$DF=BC.$
在$Rt△ABC$和$Rt△EDF$中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=ED,\\ BC=DF,\end{array}\right. $
$\therefore Rt△ABC\cong Rt△EDF(HL).$
$\therefore ∠B=∠D.$
$\therefore AB// DE.$

【例2】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E。求证：

(1)△ACD≌△CBE；
(2)DE=AD+BE。

答案： 证明：
(1)$\because ∠ACB=90^{\circ },$
$\therefore ∠ACD+∠BCE=90^{\circ }.$
又$\because AD⊥MN,BE⊥MN,$
$\therefore ∠ADC=∠CEB=90^{\circ }.$
$\therefore ∠ACD+∠DAC=90^{\circ }.$
$\therefore ∠BCE=∠CAD.$
在$△ADC$和$△CEB$中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠ADC=∠CEB,\\ ∠CAD=∠BCE,\\ AC=BC,\end{array}\right. $
$\therefore △ADC\cong △CEB(AAS).$
(2)由
(1)，得$△ADC\cong △CEB,$
$\therefore AD=CE,DC=EB.$
又$\because DE=CE+DC,$
$\therefore DE=AD+BE.$

【变式2】如图，在△ABC中，AD和CE是△ABC的两条高，且相交于点F，AD=CD。
(1)求证：△ABD≌△CFD；
(2)若BC=10，AD=7，求AF的长。

答案： 解：
(1)证明：$\because AD⊥BC,CE⊥AB$
$\therefore ∠ADB=∠CDF=∠CEB=90^{\circ }.$
$\therefore ∠BAD=∠FCD=90^{\circ }-∠B.$
在$△ABD$和$△CFD$中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠ADB=∠CDF,\\ AD=CD,\\ ∠BAD=∠FCD,\end{array}\right. $
$\therefore △ABD\cong △CFD(ASA).$
(2)由
(1)，得$△ABD\cong △CFD,$
$\therefore BD=FD.$
$\because BC=10,AD=CD=7,$
$\therefore BD=BC - CD=10 - 7=3.$
$\therefore BD=FD=3.$
$\therefore AF=AD - FD=7 - 3=4.$
$\therefore AF$的长是4.