《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

3.【问题情境】一般地,如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除,那么这个自然数就能被3整除.
比如:若一个两位数的十位、个位上的数字分别为$a$,$b$,则通常记这个两位数为$\overline{ab}$.于是$\overline{ab}=10a+b=9a+(a+b)$,显然$9a$能被3整除,因此,如果$a+b$能被3整除,那么$9a+(a+b)$就能被3整除,即$\overline{ab}$能被3整除.
【类比探究】已知三位数$\overline{abc}$.
(1)请用含$a$,$b$,$c$的代数式表示三位数$\overline{abc}=$$100a + 10b + c$;
(2)“若$a+b+c$能被3整除,则三位数$\overline{abc}$就能被3整除”,请你说出其中的道理;
$\overline{abc} = 100a + 10b + c = 99a + 9b + (a + b + c)$.
$\because 99a = 3×33a$，$9b = 3×3b$，
$\therefore 99a$能被$3$整除，$9b$能被$3$整除.
$\therefore$若$a + b + c$能被$3$整除，则$99a + 9b + (a + b + c)$就能被$3$整除，即$\overline{abc}$能被$3$整除.
【类比拓展】判断一个三位整数能否被7整除,只需看去掉这个数的末位数字后,所得到的数与此末尾数字5倍的和能否被7整除,如果这个和能被7整除,则原数就能被7整除.
比如:$\overline{abc}$三位数去掉末位数字$c$得两位数$\overline{ab}$,再用$\overline{ab}$加上$c$的5倍所得的和为$\overline{ab}+5c$.若$\overline{ab}+5c$是7的倍数,则$\overline{abc}$能被7整除.
(3)请你说明“若$\overline{ab}+5c$是7的倍数,则$\overline{abc}$能被7整除”这个结论的道理.
$\because \overline{ab} + 5c = 10a + b + 5c$，
$\therefore \overline{abc} = 100a + 10b + c = 10(10a + b) + c$
$= 10(10a + b + 5c - 5c) + c$
$= 10(\overline{ab} + 5c) - 49c$.
$\because 49c$能被$7$整除，$\overline{ab} + 5c$是$7$的倍数，
$\therefore 10(\overline{ab} + 5c) - 49c$就能被$7$整除，即$\overline{abc}$能被$7$整除.

答案： 解：
(1)$100a + 10b + c$
(2)$\overline{abc} = 100a + 10b + c = 99a + 9b + (a + b + c)$.
$\because 99a = 3×33a$，$9b = 3×3b$，
$\therefore 99a$能被$3$整除，$9b$能被$3$整除.
$\therefore$若$a + b + c$能被$3$整除，则$99a + 9b + (a + b + c)$就能被$3$整除，即$\overline{abc}$能被$3$整除.
(3)$\because \overline{ab} + 5c = 10a + b + 5c$，
$\therefore \overline{abc} = 100a + 10b + c = 10(10a + b) + c$
$= 10(10a + b + 5c - 5c) + c$
$= 10(\overline{ab} + 5c) - 49c$.
$\because 49c$能被$7$整除，$\overline{ab} + 5c$是$7$的倍数，
$\therefore 10(\overline{ab} + 5c) - 49c$就能被$7$整除，即$\overline{abc}$能被$7$整除.