《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

一、预习导学
| | 图例 | 性质 |
| --- | --- | --- |
| 等腰三角形 | | 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”). |
| 几何语言 | | $\because AB = AC$，$\angle 1 = \angle 2$，$\therefore$$AD\perp BC$，$BD = CD$. | $\because AB = AC$，$BD = CD$，$\therefore$$\angle 1=\angle 2$，$AD\perp BC$. | $\because AB = AC$，$AD \perp BC$，$\therefore$$\angle 1=\angle 2$，$BD = CD$. |

答案： 中线 高 顶角平分线
$AD\perp BC$ $BD = CD$
$\angle 1=\angle 2$ $AD\perp BC$
$\angle 1=\angle 2$ $BD = CD$

【例1】如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，点$D$是$BC$的中点.
(1)求证：$\angle ADC = 90^{\circ}$；
(2)若$\angle BAC = 100^{\circ}$，求$\angle BAD$的度数.

答案： 证明：$\because AB = AC$，点D是BC的中点，
$\therefore AD\perp BC$，即$\angle ADC = 90^{\circ}$．
(2)$\because AB = AC$，点D是BC的中点，
$\therefore AD$为$\angle BAC$的平分线，
即$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC = 50^{\circ}$．

【变式1】如图，在$\triangle ABC$中，$AC = BC$，$CD \perp AB$于点$D$.
(1)若$AD = 2cm$，求$BD$的长；
(2)若$\angle 1 = 25^{\circ}$，求$\angle ACB$的度数.

答案： 解：
(1)$\because AC = BC$，$CD\perp AB$，
$\therefore AD = BD = 2cm$．
(2)$\because AC = BC$，$CD\perp AB$，
$\therefore CD$为$\angle ACB$的平分线，
即$\angle ACB = 2\angle 1 = 50^{\circ}$．

【例2】如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，点$D$是$BC$的中点，点$E$在$AC$上，$AD = AE$，若$\angle BAD = 50^{\circ}$，求$\angle CED$的度数.

答案： 解：$\because AB = AC$，点D是BC的中点，
$\therefore \angle CAD=\angle BAD = 50^{\circ}$．
又$\because AD = AE$，
$\therefore \angle ADE=\angle AED=\frac{1}{2}\times(180^{\circ}-50^{\circ}) = 65^{\circ}$，
$\therefore \angle CED = 180^{\circ}-65^{\circ}=115^{\circ}$．

【变式2】如图，$AD$是$\triangle ABC$的中线，$AB = AC$，$\angle C = 40^{\circ}$，$DE \perp AB$于点$E$，求$\angle CAD$与$\angle ADE$的度数.

答案： 解：$\because AB = AC$，$BD = CD$，
$\therefore AD\perp BC$，$AD$平分$\angle BAC$．
$\therefore \angle CAD = 90^{\circ}-\angle C = 50^{\circ}$．
$\therefore \angle BAD=\angle CAD = 50^{\circ}$．
$\because DE\perp AB$，
$\therefore \angle ADE = 90^{\circ}-\angle BAD = 40^{\circ}$．